Se
tem derivada continua,
, é possível deduzir que
iv.
iv.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma função
que tem derivada contínua, ou seja, a derivada dela não tem “quedas” ou “saltos”. Sabemos que
e precisamos analisar o limite:
Nosso objetivo é descobrir o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter derivada contínua. Isso nos permite usar uma aproximação linear da função
perto de
. Basicamente, podemos dizer que para valores pequenos de
:
Passo 3
Somando essas duas aproximações, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso no limite original:
Para esse limite ser finito, o termo
precisa ser zero quando
tende a zero. Isso só acontece se
.
Passo 5
Com
, o limite simplifica para:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
Portanto,
.