Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
iv.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma função que tem derivada contínua, ou seja, a derivada dela não tem “quedas” ou “saltos”. Sabemos que e precisamos analisar o limite:
Nosso objetivo é descobrir o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter derivada contínua. Isso nos permite usar uma aproximação linear da função perto de . Basicamente, podemos dizer que para valores pequenos de :

Passo 3

Somando essas duas aproximações, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir isso no limite original:
Para esse limite ser finito, o termo precisa ser zero quando tende a zero. Isso só acontece se .

Passo 5

Com , o limite simplifica para:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Resposta

Portanto, .

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Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
iii.
Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
ii.
Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
v.
(2,5 ptos) Para cada afirmação, marque V, no caso verdadeiro, ou F no caso falso. Justifique a resposta em ambos os casos.
(a)( ) A expressão descreve o comportamento da função quando .