Se f tem derivada continua, f^prime(2)=4 e lim x 0 f(A x+2)+f(B x+2)3 x=16, é possível deduzir que
iv. A+B=-23

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma função limx to 0 f(Ax + 2) + f(Bx + 2)3x = 16 que tem derivada contínua, ou seja, a derivada dela não tem “quedas” ou “saltos”. Sabemos que e precisamos analisar o limite:
Nosso objetivo é descobrir o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter derivada contínua. Isso nos permite usar uma aproximação linear da função f(Ax + 2) approx f(2) + f'(2) cdot Ax perto de f(Bx + 2) approx f(2) + f'(2) cdot Bx . Basicamente, podemos dizer que para valores pequenos de :

Passo 3

Somando essas duas aproximações, temos:
f(Ax + 2) + f(Bx + 2) approx 2f(2) + f'(2) cdot (A + B)x

Passo 4

Agora, vamos substituir isso no limite original:
limx to 0 2f(2) + f'(2) cdot (A + B)x3x = 16
Para esse limite ser finito, o termo precisa ser zero quando tende a zero. Isso só acontece se .

Passo 5

Com f'(2) cdot (A + B)3 = 16 , o limite simplifica para:
4e cdot (A + B)3 = 16
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Agora, vamos resolver para 4e cdot (A + B) = 36 = 12 :
A + B = 12 div 4e = 18e

Resposta

Portanto, .

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