Se
tem derivada continua,
, é possível deduzir que
v.
v.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função
que possui derivada contínua, e sabemos que
. Além disso, nos é dado o limite:
Queremos descobrir se é possível concluir que
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a definição de derivada e limites.
Passo 2
Primeiro, lembraremos que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. A definição de derivada é:
No nosso caso, sabemos que
, o que significa que a inclinação da tangente à função
no ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite fornecido no exercício:
Como
está se aproximando de 0,
e
estão se aproximando de 2. Podemos então aproximar
e
usando a definição de derivada.
Passo 4
Usando a definição de derivada, temos que:
Somando essas duas aproximações:
Passo 5
Substituindo essa aproximação no limite original:
Dividindo termo por termo:
Para que o limite seja finito (
), o primeiro termo
deve ser igual a zero, o que implica que
.
Passo 6
Com
, o limite simplifica para:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
Não, a soma
é igual a
, portanto
.
Exercícios relacionados
Se
tem derivada continua,
, é possível deduzir que
iv.
iv.
Se
tem derivada continua,
, é possível deduzir que
iii.
iii.
(2,5 ptos) Para cada afirmação, marque V, no caso verdadeiro, ou F no caso falso. Justifique a resposta em ambos os casos.
(a)( ) A expressão descreve o comportamento da função
quando
.
(a)( ) A expressão
(2,5 ptos) Para cada afirmação, marque V, no caso verdadeiro, ou F no caso falso. Justifique a resposta em ambos os casos.
©( ) só existe quando
estiver definida em
.
©( )