Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
v.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que possui derivada contínua, e sabemos que . Além disso, nos é dado o limite:
Queremos descobrir se é possível concluir que . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a definição de derivada e limites.

Passo 2

Primeiro, lembraremos que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. A definição de derivada é:
No nosso caso, sabemos que , o que significa que a inclinação da tangente à função no ponto é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite fornecido no exercício:
Como está se aproximando de 0, e estão se aproximando de 2. Podemos então aproximar e usando a definição de derivada.

Passo 4

Usando a definição de derivada, temos que:
Somando essas duas aproximações:

Passo 5

Substituindo essa aproximação no limite original:
Dividindo termo por termo:
Para que o limite seja finito ( ), o primeiro termo deve ser igual a zero, o que implica que .

Passo 6

Com , o limite simplifica para:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Resposta

Não, a soma é igual a , portanto .

Exercícios relacionados

Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
iv.
Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
iii.
(2,5 ptos) Para cada afirmação, marque V, no caso verdadeiro, ou F no caso falso. Justifique a resposta em ambos os casos.
(a)( ) A expressão descreve o comportamento da função quando .
(2,5 ptos) Para cada afirmação, marque V, no caso verdadeiro, ou F no caso falso. Justifique a resposta em ambos os casos.
©( ) só existe quando estiver definida em .