Se f tem derivada continua, f^prime(2)=4 e lim x 0 f(A x+2)+f(B x+2)3 x=16, é possível deduzir que
v. A+B=34

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função limx to 0 f(Ax + 2) + f(Bx + 2)3x = 16 que possui derivada contínua, e sabemos que . Além disso, nos é dado o limite:
Queremos descobrir se é possível concluir que . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a definição de derivada e limites.

Passo 2

Primeiro, lembraremos que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. A definição de derivada é:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
No nosso caso, sabemos que , o que significa que a inclinação da tangente à função no ponto é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite fornecido no exercício:
limx to 0 f(Ax + 2) + f(Bx + 2)3x = 16
Como está se aproximando de 0, e estão se aproximando de 2. Podemos então aproximar e usando a definição de derivada.

Passo 4

Usando a definição de derivada, temos que:
f(Ax + 2) approx f(2) + f'(2) cdot (Ax)
f(Bx + 2) approx f(2) + f'(2) cdot (Bx)
Somando essas duas aproximações:
f(Ax + 2) + f(Bx + 2) approx 2f(2) + f'(2)(A + B)x

Passo 5

Substituindo essa aproximação no limite original:
limx to 0 2f(2) + f'(2)(A + B)x3x = 16
Dividindo termo por termo:
limx to 0 ( 2f(2)3x + f'(2)(A + B)3 ) = 16
Para que o limite seja finito ( ), o primeiro termo deve ser igual a zero, o que implica que .

Passo 6

Com f'(2)(A + B)3 = 16 , o limite simplifica para:
4e(A + B)3 = 16
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver para 4e(A + B) = 36 = 12 :
A + B = 12 cdot 4e = 18e

Resposta

Não, a soma é igual a , portanto .

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