Tem-se um fio longo uniformemente carregado. Em uma amostra deste fio com 1 mm de comprimento encontrou-se uma carga de . Calcule o campo elétrico em volta deste fio nas seguintes distâncias: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio longo e uniformemente carregado. Numa parte desse fio com 1 mm de comprimento, encontrou-se uma carga de . A missão é calcular o campo elétrico ao redor desse fio em uma distância de . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de eletricidade, especialmente o Campo Elétrico e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga ( ) do fio. A densidade linear de carga é a quantidade de carga por unidade de comprimento. Sabemos que:
Onde:
  • (carga)
  • (comprimento)
Vamos substituir os valores:

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico ao redor do fio. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superf��cie dividida pela constante de permissividade do vácuo ( ):
Para um fio longo e retilíneo, a simetria do problema sugere que o campo elétrico ( ) é perpendicular ao fio e tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância do fio. Vamos escolher uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com o fio, com raio e comprimento .

Passo 4

O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é dado por:
Isso porque o campo elétrico é constante na superfície lateral do cilindro e paralelo às bases, que não contribuem para o fluxo. Segundo a Lei de Gauss:

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Agora, substituímos os valores conhecidos:

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora, dividimos:
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico ao redor do fio a uma distância de é aproximadamente .

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