Tem-se um fio longo uniformemente carregado. Em uma amostra deste fio com 1 mm de comprimento encontrou-se uma carga de
. Calcule o campo elétrico em volta deste fio nas seguintes distâncias:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio longo e uniformemente carregado. Numa parte desse fio com 1 mm de comprimento, encontrou-se uma carga de
. A missão é calcular o campo elétrico ao redor desse fio em uma distância de
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de eletricidade, especialmente o Campo Elétrico e a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade linear de carga (
) do fio. A densidade linear de carga é a quantidade de carga por unidade de comprimento. Sabemos que:
Onde:
-
(carga) -
(comprimento)
Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico ao redor do fio. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superf��cie dividida pela constante de permissividade do vácuo (
):
Para um fio longo e retilíneo, a simetria do problema sugere que o campo elétrico (
) é perpendicular ao fio e tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância
do fio. Vamos escolher uma superfície gaussiana na forma de um cilindro coaxial com o fio, com raio
e comprimento
.
Passo 4
O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é dado por:
Isso porque o campo elétrico é constante na superfície lateral do cilindro e paralelo às bases, que não contribuem para o fluxo. Segundo a Lei de Gauss:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora, dividimos:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico ao redor do fio a uma distância de
é aproximadamente
.
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