A temperatura
em cada ponto
de uma chapa de metal não varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa está em
no instante
. Qual a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante
, sabendo que
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos descobrir como a temperatura está mudando ao longo do tempo para um besouro que está se movendo sobre uma chapa de metal. A temperatura na chapa depende das posições
e
, que por sua vez dependem do tempo
. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, identificamos a posição do besouro em função do tempo
:
Isso nos mostra como as coordenadas
e
mudam com o tempo.
Passo 3
Sabemos que a temperatura
não varia diretamente com o tempo, mas como
e
são funções de
,
também depende de
através dessas variáveis. Portanto, para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 4
A regra da cadeia nos diz que:
Aqui,
e
são as derivadas parciais da temperatura em relação a
e
, respectivamente.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação ao tempo
:
Passo 6
No instante
, encontramos as coordenadas do besouro:
Também sabemos os valores das derivadas parciais na posição
:
Passo 7
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da regra da cadeia:
Resposta
A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante
é
.
Exercícios relacionados
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir, marcando
para verdadeiro e
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( ) Uma funçâo linear é crescente quando .
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( ) A forma geral de uma função linear é .
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(1) Determine whether each statement is true or false.
(a) Two lines parallel to a third line are parallel.
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© Two planes parallel to a third plane are parallel.
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