A temperatura T(x, y) em cada ponto (x, y) de uma chapa de metal não varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa está em (x, y) = (t^2 + 1, 3t) no instante t. Qual a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante t = 2, sabendo que T(5,6)=40, Tx(5,6)=4 e T_y(5,6)=-2

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos descobrir como a temperatura está mudando ao longo do tempo para um besouro que está se movendo sobre uma chapa de metal. A temperatura na chapa depende das posições e , que por sua vez dependem do tempo . Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identificamos a posição do besouro em função do tempo :
Isso nos mostra como as coordenadas e mudam com o tempo.

Passo 3

Sabemos que a temperatura não varia diretamente com o tempo, mas como e são funções de , também depende de através dessas variáveis. Portanto, para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 4

A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais da temperatura em relação a e , respectivamente.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e em relação ao tempo :

Passo 6

No instante , encontramos as coordenadas do besouro:
Também sabemos os valores das derivadas parciais na posição :

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no instante é .

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© Two planes parallel to a third plane are parallel.