O tempo de vida próprio dos múons é da ordem de
. Se um feixe de múons penetra na atmosfera com velocidade de
, estime o tempo de vida para um observador na Terra. Que distância eles percorrem em média antes de se desintegrarem?
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre múons, que são partículas bem rápidas. O enunciado diz que a vida própria de um múon é de cerca de
. Mas esses múons estão viajando na atmosfera a uma velocidade de
(onde
é a velocidade da luz). A gente precisa descobrir quanto tempo esses múons vivem para um observador na Terra e qual a distância que eles percorrem antes de se desintegrarem. Para resolver isso, vamos usar a teoria da relatividade restrita, especificamente o conceito de dilatação do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a dilatação do tempo. Na relatividade, quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o tempo para esse objeto parece passar mais devagar para o observador. A fórmula para calcular isso é:
onde:
-
é o tempo dilatado (tempo medido pelo observador na Terra), -
é o tempo próprio (tempo medido no referencial dos múons), -
é o fator de Lorentz, dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator de Lorentz (
). Sabemos que a velocidade dos múons é
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo de vida dilatado (
) para um observador na Terra usando a fórmula da dilatação do tempo:
Então, para um observador na Terra, os múons têm uma vida útil de aproximadamente
.
Passo 5
Com o tempo de vida dilatado, podemos calcular a distância que os múons percorrem antes de se desintegrarem. Usamos a fórmula da distância:
Sabemos que
e
. Primeiro, vamos converter o tempo para segundos:
Agora, substituindo na fórmula:
Sabemos que
, então:
Ou seja, os múons percorrem aproximadamente
antes de se desintegrarem.
Resposta
Para um observador na Terra, os múons têm uma vida útil de aproximadamente
e percorrem, em média, cerca de
antes de se desintegrarem.