O tempo de vida próprio dos múons é da ordem de . Se um feixe de múons penetra na atmosfera com velocidade de , estime o tempo de vida para um observador na Terra. Que distância eles percorrem em média antes de se desintegrarem?

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre múons, que são partículas bem rápidas. O enunciado diz que a vida própria de um múon é de cerca de . Mas esses múons estão viajando na atmosfera a uma velocidade de (onde é a velocidade da luz). A gente precisa descobrir quanto tempo esses múons vivem para um observador na Terra e qual a distância que eles percorrem antes de se desintegrarem. Para resolver isso, vamos usar a teoria da relatividade restrita, especificamente o conceito de dilatação do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a dilatação do tempo. Na relatividade, quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o tempo para esse objeto parece passar mais devagar para o observador. A fórmula para calcular isso é:
onde:
  • é o tempo dilatado (tempo medido pelo observador na Terra),
  • é o tempo próprio (tempo medido no referencial dos múons),
  • é o fator de Lorentz, dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( ). Sabemos que a velocidade dos múons é . Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo de vida dilatado ( ) para um observador na Terra usando a fórmula da dilatação do tempo:
Então, para um observador na Terra, os múons têm uma vida útil de aproximadamente .

Passo 5

Com o tempo de vida dilatado, podemos calcular a distância que os múons percorrem antes de se desintegrarem. Usamos a fórmula da distância:
Sabemos que e . Primeiro, vamos converter o tempo para segundos:
Agora, substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:
Ou seja, os múons percorrem aproximadamente antes de se desintegrarem.

Resposta

Para um observador na Terra, os múons têm uma vida útil de aproximadamente e percorrem, em média, cerca de antes de se desintegrarem.

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