O tempo de vida próprio dos múons é da ordem de 2,0 mu s. Se um feixe de múons penetra na atmosfera com velocidade de 0,99 c, estime o tempo de vida para um observador na Terra. Que distância eles percorrem em média antes de se desintegrarem?

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre múons, que são partículas bem rápidas. O enunciado diz que a vida própria de um múon é de cerca de 2,0,mu s. Mas esses múons estão viajando na atmosfera a uma velocidade de 0,99,c (onde c é a velocidade da luz). A gente precisa descobrir quanto tempo esses múons vivem para um observador na Terra e qual a distância que eles percorrem antes de se desintegrarem. Para resolver isso, vamos usar a teoria da relatividade restrita, especificamente o conceito de dilatação do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a dilatação do tempo. Na relatividade, quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o tempo para esse objeto parece passar mais devagar para o observador. A fórmula para calcular isso é:
De
onde:
  • De é o tempo dilatado (tempo medido pelo observador na Terra),
  • De é o tempo próprio (tempo medido no referencial dos múons),
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma). Sabemos que a velocidade dos múons é v = 0,99,c. Substituindo na fórmula:
gamma = 1raiz1 - (0,99)^2 = 1raiz1 - 0,9801 = 1raiz0,0199 approx 10,141 approx 7,09

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo de vida dilatado ( De) para um observador na Terra usando a fórmula da dilatação do tempo:
De
Então, para um observador na Terra, os múons têm uma vida útil de aproximadamente 14,18,mu s.

Passo 5

Com o tempo de vida dilatado, podemos calcular a distância que os múons percorrem antes de se desintegrarem. Usamos a fórmula da distância:
d = v cdot De
Sabemos que v = 0,99,c e De. Primeiro, vamos converter o tempo para segundos:
14,18,mu s = 14,18 times 10^-6,s
Agora, substituindo na fórmula:
d = 0,99,c cdot 14,18 times 10^-6,s
Sabemos que c = 3 times 10^8,m/s, então:
d = 0,99 times 3 times 10^8,m/s times 14,18 times 10^-6,s approx 0,99 times 3 times 10^8 times 14,18 times 10^-6 approx 0,99 times 4,254 times 10^3,m approx 4,211 times 10^3,m
Ou seja, os múons percorrem aproximadamente 4.211,km antes de se desintegrarem.

Resposta

Para um observador na Terra, os múons têm uma vida útil de aproximadamente 14,18,mu s e percorrem, em média, cerca de 4.211,km antes de se desintegrarem.

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