Utilizando a Identidade Binomial
tente provar que, se a função posição é do tipo
, então a velocidade pode ser calculada a qualquer instante pela fórmula
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que utiliza a Identidade Binomial. O enunciado nos pede para provar que, se a posição de um objeto é dada por
, então a velocidade nesse instante é
. Para isso, vamos precisar aplicar a definição de velocidade como a derivada da posição em relação ao tempo e usar a Identidade Binomial para expandir as expressões necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Ou seja:
Como
, precisamos encontrar
.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos utilizar a definição de derivada pelo limite:
Aí entra a Identidade Binomial, que nos ajuda a expandir
:
Passo 4
Substituindo a expansão binomial na expressão da velocidade:
Observamos que o termo
da soma é
, que cancela com o
. Assim, ficamos com:
Podemos fatorar
da soma:
Quando
tende a zero, todos os termos com
desaparecem, restando apenas o termo
:
Resposta
A velocidade é dada por
.