Utilizando a Identidade Binomial
tente provar que, se a função posição é do tipo , então a velocidade pode ser calculada a qualquer instante pela fórmula

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que utiliza a Identidade Binomial. O enunciado nos pede para provar que, se a posição de um objeto é dada por , então a velocidade nesse instante é . Para isso, vamos precisar aplicar a definição de velocidade como a derivada da posição em relação ao tempo e usar a Identidade Binomial para expandir as expressões necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Ou seja:
Como , precisamos encontrar .

Passo 3

Para encontrar a derivada de , vamos utilizar a definição de derivada pelo limite:
Aí entra a Identidade Binomial, que nos ajuda a expandir :

Passo 4

Substituindo a expansão binomial na expressão da velocidade:
Observamos que o termo da soma é , que cancela com o . Assim, ficamos com:
Podemos fatorar da soma:
Quando tende a zero, todos os termos com desaparecem, restando apenas o termo :

Resposta

A velocidade é dada por .

Exercícios relacionados

Considere a função .
Mostre que , qualquer que seja o valor de . Ou seja, nesse exemplo a partícula está se deslocando com velocidade constante.
Considere a função .
Calcule a velocidade instantânea .
Considere a função .
Faça o gráfico e marque nele o ponto .
Tendo como base o exemplo anterior, calcule a velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta com função posição .