Utilizando a Identidade Binomial
(t+h)^n=sumi=0^nbinomni t^n-i h^i
tente provar que, se a função posição é do tipo s(t)=t^n, então a velocidade pode ser calculada a qualquer instante pela fórmula
v(t)=n t^n-1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que utiliza a Identidade Binomial. O enunciado nos pede para provar que, se a posição de um objeto é dada por , então a velocidade nesse instante é . Para isso, vamos precisar aplicar a definição de velocidade como a derivada da posição em relação ao tempo e usar a Identidade Binomial para expandir as expressões necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) = ds(t)dt é a derivada da posição em relação ao tempo . Ou seja:
Como , precisamos encontrar .

Passo 3

Para encontrar a derivada de v(t) = limh to 0 (t + h)^n - t^nh , vamos utilizar a definição de derivada pelo limite:
(t + h)^n = sumi=0^n binomni t^n-i h^i
Aí entra a Identidade Binomial, que nos ajuda a expandir :

Passo 4

Substituindo a expansão binomial na expressão da velocidade:
v(t) = limh to 0 sumi=0^n binomni t^n-i h^i - t^nh
Observamos que o termo v(t) = limh to 0 sumi=1^n binomni t^n-i h^ih da soma é v(t) = limh to 0 sumi=1^n binomni t^n-i h^i-1 , que cancela com o v(t) = binomn1 t^n-1 = n t^n-1 . Assim, ficamos com:
Podemos fatorar da soma:
Quando tende a zero, todos os termos com desaparecem, restando apenas o termo :

Resposta

A velocidade é dada por .

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