Vamos resolver o exercício que pede para verificar se os vetores u, v e w são coplanares. Isso significa que queremos saber se esses três vetores estão todos no mesmo plano. Para fazer isso, vamos usar o conceito de produto misto (produto escalar triplo), que nos ajuda a determinar se três vetores estão em um mesmo plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial entre os vetores v e w. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros. A fórmula para o produto vetorial é:
Onde , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para calcular v = i + 2j + k w = -2i + 3j + 4k :
v times w = i & j & k 1 & 2 & 1 -2 & 3 & 4 = i(2 cdot 4 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + k(1 cdot 3 - 2 cdot (-2))
Calculando o determinante:
v times w = i(8 - 3) - j(4 + 2) + k(3 + 4) = 5i - 6j + 7k
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor u e o vetor resultante do produto vetorial u cdot (v times w) = ux cdot (v times w)x + uy cdot (v times w)y + uz cdot (v times w)z . O produto escalar é dado por:
u = 3i - j + 2k v times w = 5i - 6j + 7k
Onde:
u cdot (v times w) = 3 cdot 5 + (-1) cdot (-6) + 2 cdot 7 = 15 + 6 + 14 = 35
Calculando:
Passo 5
O resultado do produto escalar foi 35. Segundo a teoria, se o produto misto (produto escalar triplo) for igual a zero, os vetores são coplanares. Caso contrário, eles não estão no mesmo plano.
Resposta
Como o produto misto é 35, que é diferente de zero, os vetores u, v e w não são coplanares.