Use um produto misto para determinar o volume do paralelepípedo que tem u, ve w como arestas adjacentes.
31.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelas arestas , e . Para isso, vamos usar o produto misto, que envolve o produto escalar e o produto vetorial dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto escalar de um dos vetores () com o produto vetorial dos outros dois vetores (). A fórmula fica assim:
Então, precisamos calcular e depois fazer o produto escalar com .
Passo 3
Vamos escrever os vetores com suas componentes:
Note que não tem componente , então podemos considerar .
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial . A gente usa a matriz com os componentes dos vetores:
Resolvendo o determinante:
Então, .
Passo 5
Agora fazemos o produto escalar entre u cdot (v times w) = (5)(1) + (-2)(1) + (1)(-3) = 5 - 2 - 3 = 0 e V = |0| = 0 :