Use um produto misto para determinar o volume do paralelepípedo que tem u, ve w como arestas adjacentes.
31. u=5 i-2 j+k, v=4 i-j+k, w=i-j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo formado pelas arestas , e . Para isso, vamos usar o produto misto, que envolve o produto escalar e o produto vetorial dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto escalar de um dos vetores ( V = |u cdot (v times w)| ) com o produto vetorial dos outros dois vetores ( ). A fórmula fica assim:
Então, precisamos calcular e depois fazer o produto escalar com .

Passo 3

Vamos escrever os vetores com suas componentes:
u = 5i - 2j + k v = 4i - j + k w = i - j
Note que não tem componente , então podemos considerar .

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial v times w = i & j & k 4 & -1 & 1 1 & -1 & 0 . A gente usa a matriz com os componentes dos vetores:
v times w = i((-1)(0) - (1)(-1)) - j((4)(0) - (1)(1)) + k((4)(-1) - (-1)(1)) = i(0 + 1) - j(0 - 1) + k(-4 + 1) = i + j - 3k
Resolvendo o determinante:
Então, .

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar entre u cdot (v times w) = (5)(1) + (-2)(1) + (1)(-3) = 5 - 2 - 3 = 0 e V = |0| = 0 :
O volume é o valor absoluto disso, então:

Resposta

O volume do paralelepípedo é .

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