Qual teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva fechada à integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície limitada pela curva?
(a) Teorema da divergência
(b) Teorema do gradiente
© Teorema de Stokes
(d) Teorema de Green

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando qual teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a superfície que essa curva delimita. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde analisamos como campos vetoriais se comportam em diferentes tipos de integrais. Para resolver, vamos precisar entender o que é integral de linha, rotacional de um campo vetorial e os principais teoremas que ligam essas ideias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha. Ela mede o quanto um campo vetorial “atua” ao longo de uma curva. Imagine que você está andando por uma trilha e o campo vetorial representa, por exemplo, a força do vento; a integral de linha seria como calcular o trabalho feito pelo vento enquanto você caminha.

Passo 3

Agora, o rotacional de um campo vetorial, denotado por nabla times F, mede a tendência do campo em “girar” em torno de um ponto. É como se estivéssemos verificando se o campo tem alguma rotação ou circulação local.

Passo 4

O próximo passo é conhecer os teoremas que conectam esses conceitos. Temos quatro opções na questão:
(a) Teorema da divergência – Relaciona a integral de volume da divergência de um campo vetorial com a integral de superfície do campo através da fronteira do volume.
(b) Teorema do gradiente – Também conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, relaciona a integral de linha de um gradiente com a diferença de valores da função nos pontos finais.
© Teorema de Stokes – Relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a superfície limitada pela curva.
(d) Teorema de Green – É um caso especial do Teorema de Stokes no plano, relacionando a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região limitada.

Passo 5

Comparando a descrição da questão com os teoremas, percebemos que o Teorema de Stokes (opção c) é o que exatamente relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície delimitada pela curva.

Resposta

A alternativa correta é © Teorema de Stokes.

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