Na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, supõe-se que o elétron percorra uma órbita circular de raio r em torno do próton.Suponha que este átomo seja colocado em um campo magnético com o plano da órbita perpendicular ao campo
. Calcule a variação na freqüência de rotação do elétron, tendo em vista que para um observador os elétrons podem estar girando no sentido horário ou anti-horário. Estas variações foram observadas na prática por Zeeman em 1896.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Estamos na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, onde o elétron gira em uma órbita circular de raio
ao redor do próton. Quando colocamos esse átomo em um campo magnético
perpendicular ao plano da órbita, a frequência com que o elétron gira pode mudar dependendo de estar girando no sentido horário ou anti-horário. Isso está relacionado ao efeito Zeeman, observado por Zeeman em 1896. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de magnetismo e energia magnética no contexto do modelo de Bohr.
Passo 2
Quando um elétron com carga
se move em um campo magnético
, ele experimenta uma força magnética dada pela força de Lorentz:
Essa força pode alterar a trajetória do elétron e, consequentemente, sua frequência de rotação.
Passo 3
A energia magnética associada ao momento magnético do elétron é dada por:
Onde
é o momento magnético do elétron. No modelo de Bohr, o momento magnético é relacionado ao momento angular
do elétron:
Aqui,
é a massa do elétron.
Passo 4
O momento angular
para um elétron em órbita circular é:
Onde
é a velocidade do elétron. Substituindo na expressão do momento magnético:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da energia magnética:
Como o campo magnético é perpendicular ao plano da órbita,
e
. Então:
Passo 6
A diferença na energia para os elétrons girando em sentidos opostos (horário e anti-horário) será:
Esse sinal positivo e negativo corresponde às duas direções de giro.
Passo 7
Relacionamos a variação de energia com a variação de frequência usando a relação de Planck:
Onde
é a constante de Planck. Portanto:
Resposta
A variação na frequência de rotação do elétron devido ao campo magnético é:
Exercícios relacionados
Um cabo de cobre cilíndrico de
de comprimento está submetido a uma diferença de potencial de
. Qual deve ser seu diâmetro para que ele produza calor a uma taxa de
? Use que a resistividade do cobre é
ohms.m.
Escolha uma opção:
A. nenhuma das outras
B.
C.
D.
B.
C.
D.
Limpar minha escolha
Um fio de alumínio cuja área da seção transversal é
transporta uma corrente de I=4,21 A. Encontre a velocidade de migração dos elétrons no fio. A densidade do alumínio é
. Suponha que é fornecido um elétron por cada átomo, o número de Avogrado é
, a carga fundamental é
e a massa molar do alumínio é de 27 g . De sua resposta em
.
Escolha uma opção:
ค.
B. nenhuma das outras
C.
D.
B. nenhuma das outras
C.
D.
Um pósitron de 4 keV , , penetra em um campo magnético uniforme de 0.10 T com sua velocidade fazendo um ângulo de
com o vetor
. (a) Descreva a trajetória do pósitron. (b) calcule o período de rotação, © o passo e o raio da trajetória.
Uma bobina circular de 12 voltas tem um raio de
; um fio isolado, de comprimento suposto infinito, está contido no plano da bobina e passa pelo seu centro. A corrente que atravessa a bobina e o fio vale
. Qual o ângulo que o campo magnético total, criado pelo fio e pela bobina, faz com a direção do eixo da bobina, em um ponto sobre o eixo da bobina a uma altura de 51 cm do seu centro?