Na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, supõe-se que o elétron percorra uma órbita circular de raio r em torno do próton.Suponha que este átomo seja colocado em um campo magnético com o plano da órbita perpendicular ao campo B. Calcule a variação na freqüência de rotação do elétron, tendo em vista que para um observador os elétrons podem estar girando no sentido horário ou anti-horário. Estas variações foram observadas na prática por Zeeman em 1896.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Estamos na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, onde o elétron gira em uma órbita circular de raio r ao redor do próton. Quando colocamos esse átomo em um campo magnético B perpendicular ao plano da órbita, a frequência com que o elétron gira pode mudar dependendo de estar girando no sentido horário ou anti-horário. Isso está relacionado ao efeito Zeeman, observado por Zeeman em 1896. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de magnetismo e energia magnética no contexto do modelo de Bohr.

Passo 2

Quando um elétron com carga -e se move em um campo magnético B, ele experimenta uma força magnética dada pela força de Lorentz:
F = -e (v times B)
Essa força pode alterar a trajetória do elétron e, consequentemente, sua frequência de rotação.

Passo 3

A energia magnética associada ao momento magnético do elétron é dada por:
De
Onde mu é o momento magnético do elétron. No modelo de Bohr, o momento magnético é relacionado ao momento angular L do elétron:
mu = e2me L
Aqui, me é a massa do elétron.

Passo 4

O momento angular L para um elétron em órbita circular é:
L = me v r
Onde v é a velocidade do elétron. Substituindo na expressão do momento magnético:
mu = e2me me v r = e v r2

Passo 5

Agora, substituímos mu na equação da energia magnética:
De
Como o campo magnético é perpendicular ao plano da órbita, theta = 0 e costheta = 1. Então:
De

Passo 6

A diferença na energia para os elétrons girando em sentidos opostos (horário e anti-horário) será:
De
Esse sinal positivo e negativo corresponde às duas direções de giro.

Passo 7

Relacionamos a variação de energia com a variação de frequência usando a relação de Planck:
De
Onde h é a constante de Planck. Portanto:
De

Resposta

A variação na frequência de rotação do elétron devido ao campo magnético é:
De

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