Na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, supõe-se que o elétron percorra uma órbita circular de raio r em torno do próton.Suponha que este átomo seja colocado em um campo magnético com o plano da órbita perpendicular ao campo
. Calcule a variação na freqüência de rotação do elétron, tendo em vista que para um observador os elétrons podem estar girando no sentido horário ou anti-horário. Estas variações foram observadas na prática por Zeeman em 1896.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Estamos na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, onde o elétron gira em uma órbita circular de raio
ao redor do próton. Quando colocamos esse átomo em um campo magnético
perpendicular ao plano da órbita, a frequência com que o elétron gira pode mudar dependendo de estar girando no sentido horário ou anti-horário. Isso está relacionado ao efeito Zeeman, observado por Zeeman em 1896. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de magnetismo e energia magnética no contexto do modelo de Bohr.
Passo 2
Quando um elétron com carga
se move em um campo magnético
, ele experimenta uma força magnética dada pela força de Lorentz:
Essa força pode alterar a trajetória do elétron e, consequentemente, sua frequência de rotação.
Passo 3
A energia magnética associada ao momento magnético do elétron é dada por:
Onde
é o momento magnético do elétron. No modelo de Bohr, o momento magnético é relacionado ao momento angular
do elétron:
Aqui,
é a massa do elétron.
Passo 4
O momento angular
para um elétron em órbita circular é:
Onde
é a velocidade do elétron. Substituindo na expressão do momento magnético:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da energia magnética:
Como o campo magnético é perpendicular ao plano da órbita,
e
. Então:
Passo 6
A diferença na energia para os elétrons girando em sentidos opostos (horário e anti-horário) será:
Esse sinal positivo e negativo corresponde às duas direções de giro.
Passo 7
Relacionamos a variação de energia com a variação de frequência usando a relação de Planck:
Onde
é a constante de Planck. Portanto:
Resposta
A variação na frequência de rotação do elétron devido ao campo magnético é: