Teoria e Exemplos
27. Eccerento port oprefider 0 que bis de especial ma integral
ointc 4 x^2 y d x+x^2 d y ?
Justifique sud resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha, que é esse tal de . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha sobre um caminho fechado . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais e usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do campo vetorial dado. Nosso campo F = ( 4x^2 y, , x^2 ) é:
Ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial cuja derivada parcial corresponde aos componentes do campo. Para ser conservativo em uma região simplesmente conexa, a condição de que a derivada parcial de partial Qpartial x = partial (x^2)partial x = 2x em relação a partial Ppartial y = partial (4x^2 y)partial y = 4x^2 seja igual à derivada parcial de em relação a deve ser satisfeita. Vamos calcular:
Como , o campo não é conservativo. Portanto, não podemos afirmar que a integral seja zero apenas por ser sobre um caminho fechado.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, vamos aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região ointc P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA delimitada por partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 4x^2 . O Teorema de Green diz que:
Já calculamos:

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaR (2x - 4x^2) , dA
Para resolver essa integral, precisamos dos limites de integração que descrevem a região . Como esses limites não foram fornecidos no enunciado, assumimos que estamos considerando uma região específica onde possamos calcular a integral.

Resposta

Sem os limites específicos da região integral duplaR (2x - 4x^2) , dA , não podemos calcular o valor numérico da integral. Entretanto, a integral de linha dada pode ser convertida, usando o Teorema de Green, para:
Portanto, para obter a resposta final, é necessário conhecer os limites da região .

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