Teoria e Exemplos
28. Escrevento pors oprender O que hi de especial na ittegral
Justifique sua resposta.
28. Escrevento pors oprender O que hi de especial na ittegral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma integral de linha do tipo
. Esse tipo de integral está ligado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha em uma integral dupla. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é calcular a expressão dentro da integral dupla.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que a integral de linha original é igual a três vezes a integral da soma dos quadrados das coordenadas sobre a área
limitada pela curva
.
Passo 5
O que é especial nessa integral é que, através do Teorema de Green, conseguimos transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla mais simples de resolver, dependendo da região
. Além disso, a expressão
representa a distância ao quadrado do ponto
em relação à origem, o que pode ter interpretações geométricas dependendo do contexto.
Resposta
A integral
é igual a três vezes a integral dupla de
sobre a região limitada pela curva
, ou seja: