Teoria e Exemplos
28. Escrevento pors oprender O que hi de especial na ittegral
ointc-y^3 d x+x^3 d y ?
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma integral de linha do tipo . Esse tipo de integral está ligado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha em uma integral dupla. A fórmula do Teorema de Green é:
ointc M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dA
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a expressão dentro da integral dupla.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial Npartial x = partialpartial x (x^3) = 3x^2 em relação a partial Mpartial y = partialpartial y (-y^3) = -3y^2 e de partial Npartial x - partial Mpartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 em relação a :
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (3x^2 + 3y^2) , dA = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) , dA
Isso significa que a integral de linha original é igual a três vezes a integral da soma dos quadrados das coordenadas sobre a área limitada pela curva .

Passo 5

O que é especial nessa integral é que, através do Teorema de Green, conseguimos transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla mais simples de resolver, dependendo da região . Além disso, a expressão representa a distância ao quadrado do ponto em relação à origem, o que pode ter interpretações geométricas dependendo do contexto.

Resposta

A integral ointc -y^3 , dx + x^3 , dy = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) , dA é igual a três vezes a integral dupla de sobre a região limitada pela curva , ou seja:

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