Trabalho
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por para mover una particula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva dada.
15.
C: A fronteira da região

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o trabalho realizado pela força ao mover uma partícula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva , que é a fronteira de uma região. Aqui, estamos falando sobre o cálculo de trabalho em campos de força, usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha e possivelmente o Teorema de Green para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Isso significa que precisamos integrar o produto escalar da força pelo deslocamento infinitesimal ao longo da curva .

Passo 3

Observando a força , podemos identificar as componentes e . Então, o trabalho fica:

Passo 4

Como é a fronteira de uma região e estamos integrando no sentido anti-horário, podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de com uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Isso simplifica nosso cálculo, pois trabalhamos agora com uma integral dupla.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a região . Se a região for simples, podemos usar coordenadas apropriadas para facilitar a integração. Supondo que seja uma região fácil de parametrizar, a integral dupla fica:
Dependendo das limites de , você integraria em e conforme necessário.

Resposta

Após realizar a integração dupla sobre a região , o trabalho realizado pela força é dado por:
O valor numérico final dependerá da especificação exata da região .

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