Trabalho
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por
para mover una particula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva dada.
15.
C: A fronteira da região
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por
15.
C: A fronteira da região
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva
, que é a fronteira de uma região. Aqui, estamos falando sobre o cálculo de trabalho em campos de força, usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha e possivelmente o Teorema de Green para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Isso significa que precisamos integrar o produto escalar da força
pelo deslocamento infinitesimal
ao longo da curva
.
Passo 3
Observando a força
, podemos identificar as componentes
e
. Então, o trabalho fica:
Passo 4
Como
é a fronteira de uma região e estamos integrando no sentido anti-horário, podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Isso simplifica nosso cálculo, pois trabalhamos agora com uma integral dupla.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a região
. Se a região
for simples, podemos usar coordenadas apropriadas para facilitar a integração. Supondo que
seja uma região fácil de parametrizar, a integral dupla fica:
Dependendo das limites de
, você integraria em
e
conforme necessário.
Resposta
Após realizar a integração dupla sobre a região
, o trabalho realizado pela força
é dado por:
O valor numérico final dependerá da especificação exata da região
.
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