Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior 21-24
22. A elipse r(t) = (a cos t) i + (b sen t) j, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar a área de uma elipse usando o Teorema de Green. Basicamente, vamos precisar entender como aplicar esse teorema para calcular áreas de regiões fechadas, como é o caso da nossa elipse definida por , onde . Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Para calcular a área de uma região , podemos usar a seguinte forma do Teorema de Green:
Aqui, é a curva que delimita a região , e e são as coordenadas dos pontos na curva.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva da elipse. A parametrização dada é:
Isso significa que:
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos encontrar e em termos de .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos substituir , , e na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Fatorando fora da integral:
Sabemos que , então:

Passo 7

Integrando:

Resposta

A área da elipse é .

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