Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
22. A elipse
22. A elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar a área de uma elipse usando o Teorema de Green. Basicamente, vamos precisar entender como aplicar esse teorema para calcular áreas de regiões fechadas, como é o caso da nossa elipse definida por
, onde
. Vamos por partes para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Para calcular a área
de uma região
, podemos usar a seguinte forma do Teorema de Green:
Aqui,
é a curva que delimita a região
, e
e
são as coordenadas dos pontos na curva.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva da elipse. A parametrização dada é:
Isso significa que:
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos encontrar
e
em termos de
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
,
e
na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Fatorando
fora da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Integrando:
Resposta
A área da elipse é
.
Exercícios relacionados
Trabalho
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por para mover una particula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva dada.
15.
C: A fronteira da região
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15.
C: A fronteira da região
Teoria e Exemplos
28. Escrevento pors oprender O que hi de especial na ittegral
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Justifique sua resposta.
Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
23. O astróide (Figura 5.30)
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Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
24. A curva (ver figura a seguir):
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