Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral de ordem de uma sequência específica, verificar se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor conforme cresce), e, se convergir, encontrar esse limite. Além disso, também precisamos escrever o termo de ordem . Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar padrões em sequências e usar conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência dada:
Observamos que no numerador temos raízes quadradas de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, etc. E no denominador, temos números que aumentam de 3 em 3: 3, 4, 5, 6, 7, etc.

Passo 3

Vamos identificar o padrão para o numerador e denominador separadamente.
Para o numerador:
Os números sob a raiz são 1, 3, 5, 7, 9, …, que podem ser representados como , onde começa em 1.
Então, o numerador é .
Para o denominador:
Os denominadores são 3, 4, 5, 6, 7, …, que podem ser representados como .
Então, o denominador é .

Passo 4

Com isso, podemos escrever o termo geral da sequência, que chamamos de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o termo de ordem , que é simplesmente substituir por na expressão do termo geral:

Passo 6

Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :
Então, a sequência converge para .

Resposta

O termo geral de ordem é , a sequência converge para , e o termo de ordem é .

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Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;