Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Precisamos verificar se essa sequência converge ou diverge quando
tende ao infinito. Se ela convergir, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão à medida que
aumenta. Observe que quando
tende ao infinito:
-
tende a 0, porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. -
também tende a 0.
Então, temos que a expressão dentro do seno está se aproximando de 0.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
. Isso é útil porque simplifica a expressão. Aplicando essa aproximação:
Passo 4
Substituindo a aproximação na sequência original:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
À medida que
tende ao infinito,
domina em relação a
, então:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite:
Isso significa que
tende a 0 à medida que
cresce indefinidamente.
Resposta
A sequência
converge para 0.
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Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona.
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Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
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Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
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