Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: a_n = 1/n sen(3 pi / (n^2 + 1));

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Precisamos verificar se essa sequência converge ou diverge quando tende ao infinito. Se ela convergir, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão à medida que aumenta. Observe que quando tende ao infinito:
  • tende a 0, porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
  • também tende a 0.
Então, temos que a expressão dentro do seno está se aproximando de 0.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por . Isso é útil porque simplifica a expressão. Aplicando essa aproximação:

Passo 4

Substituindo a aproximação na sequência original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
À medida que tende ao infinito, domina em relação a , então:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite:
Isso significa que tende a 0 à medida que cresce indefinidamente.

Resposta

A sequência converge para 0.

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