Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência que começa assim: . A gente precisa:
  1. Encontrar o termo geral dessa sequência, ou seja, a fórmula que nos dá qualquer termo da sequência a partir da sua posição .
  2. Verificar se a sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando vai para o infinito.
  3. Para as sequências que convergem, descobrir qual é esse limite.
  4. Escrever o termo de ordem , que é basicamente o próximo termo depois do -ésimo termo.
Para isso, vamos usar conceitos de sequências matemáticas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o termo geral da sequência. Observando os termos, vemos que os sinais alternam: positivo, negativo, positivo, negativo, e assim por diante. Além disso, os denominadores aumentam de 1 em 1.
Para capturar essa alternância de sinais, usamos , onde é a posição do termo na sequência. Isso porque:
  • Quando é 1: (positivo)
  • Quando é 2: (negativo)
  • E assim por diante.
O denominador simplesmente é , então juntando tudo, o termo geral fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, precisamos calcular o limite de quando tende para o infinito:
Sabemos que tende a 0 conforme cresce. Além disso, apenas alterna os sinais, mas seu valor absoluto sempre é 1. Então, multiplicando 1 por algo que tende a 0, o resultado também tende a 0.
Portanto:
Isso significa que a sequência converge e o limite é 0.

Passo 4

Por último, vamos escrever o termo de ordem . Basta substituir por na fórmula do termo geral:
Podemos simplificar um pouquinho:

Resposta

O termo geral da sequência é . A sequência converge para 0, e o termo de ordem é .

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Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;