Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência que começa assim:
. A gente precisa:
- Encontrar o termo geral dessa sequência, ou seja, a fórmula que nos dá qualquer termo da sequência a partir da sua posição
. - Verificar se a sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando
vai para o infinito. - Para as sequências que convergem, descobrir qual é esse limite.
- Escrever o termo de ordem
, que é basicamente o próximo termo depois do -ésimo termo.
Para isso, vamos usar conceitos de sequências matemáticas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o termo geral da sequência. Observando os termos, vemos que os sinais alternam: positivo, negativo, positivo, negativo, e assim por diante. Além disso, os denominadores aumentam de 1 em 1.
Para capturar essa alternância de sinais, usamos
, onde
é a posição do termo na sequência. Isso porque:
- Quando
é 1: (positivo) - Quando
é 2: (negativo) - E assim por diante.
O denominador simplesmente é
, então juntando tudo, o termo geral
fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
tende para o infinito:
Sabemos que
tende a 0 conforme
cresce. Além disso,
apenas alterna os sinais, mas seu valor absoluto sempre é 1. Então, multiplicando 1 por algo que tende a 0, o resultado também tende a 0.
Portanto:
Isso significa que a sequência converge e o limite é 0.
Passo 4
Por último, vamos escrever o termo de ordem
. Basta substituir
por
na fórmula do termo geral:
Podemos simplificar um pouquinho:
Resposta
O termo geral da sequência é
. A sequência converge para 0, e o termo de ordem
é
.
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das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona.
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Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona.
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