Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema do Sanduíche para mostrar que o limite de
quando
vai para mais infinito é igual a 1. Então, vamos precisar entender o que é o Teorema do Sanduíche e como aplicá-lo para encontrar esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Sanduíche. Basicamente, se temos três funções, digamos
,
e
, e sabemos que
para todo
, e que os limites de
e
quando
vai para o infinito são iguais a
, então o limite de
também será
. Então, nossa missão é encontrar duas funções que “embrulhem”
e que ambos tenham limite 1 quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos começar analisando a expressão dentro da raiz:
. Note que, para
, temos que
. Assim, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a raiz
-ésima em todos os termos da desigualdade:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que
. Então:
E similarmente:
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites de cada parte quando
tende ao infinito.
Primeiro,
. Podemos escrever isso como
. Sabendo que
cresce mais devagar que
, temos:
Segundo,
. Sabemos que qualquer número positivo elevado a
é 1, então:
Portanto:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema do Sanduíche, como vimos que:
E ambos os limites das extremidades são 1 quando
tende ao infinito, concluímos que:
Resposta
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Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.