Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema do Sanduíche para mostrar que o limite de quando vai para mais infinito é igual a 1. Então, vamos precisar entender o que é o Teorema do Sanduíche e como aplicá-lo para encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Sanduíche. Basicamente, se temos três funções, digamos , e , e sabemos que para todo , e que os limites de e quando vai para o infinito são iguais a , então o limite de também será . Então, nossa missão é encontrar duas funções que “embrulhem” e que ambos tenham limite 1 quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos começar analisando a expressão dentro da raiz: . Note que, para , temos que . Assim, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a raiz -ésima em todos os termos da desigualdade:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que . Então:
E similarmente:

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de cada parte quando tende ao infinito.
Primeiro, . Podemos escrever isso como . Sabendo que cresce mais devagar que , temos:
Segundo, . Sabemos que qualquer número positivo elevado a é 1, então:
Portanto:

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema do Sanduíche, como vimos que:
E ambos os limites das extremidades são 1 quando tende ao infinito, concluímos que:

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;
Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .