Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que: lim n +infty raiz[n]n^2+n=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema do Sanduíche para mostrar que o limite de raiz[n]n^2+n quando n vai para mais infinito é igual a 1. Então, vamos precisar entender o que é o Teorema do Sanduíche e como aplicá-lo para encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Sanduíche. Basicamente, se temos três funções, digamos f(n), g(n) e h(n), e sabemos que f(n) <= g(n) <= h(n) para todo n, e que os limites de f(n) e h(n) quando n vai para o infinito são iguais a L, então o limite de g(n) também será L. Então, nossa missão é encontrar duas funções que “embrulhem” raiz[n]n^2+n e que ambos tenham limite 1 quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos começar analisando a expressão dentro da raiz: n^2 + n. Note que, para n >= 1, temos que n^2 <= n^2 + n <= n^2 + n^2 = 2n^2. Assim, podemos escrever:
n^2 <= n^2 + n <= 2n^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a raiz n-ésima em todos os termos da desigualdade:
raiz[n]n^2 <= raiz[n]n^2 + n <= raiz[n]2n^2
Isso simplifica para:
raiz[n]n^2 <= raiz[n]n^2 + n <= raiz[n]2 cdot raiz[n]n^2

Passo 5

Vamos simplificar raiz[n]n^2. Sabemos que raiz[n]n^k = n^k/n. Então:
raiz[n]n^2 = n^2/n
E similarmente:
raiz[n]2 cdot raiz[n]n^2 = 2^1/n cdot n^2/n

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de cada parte quando n tende ao infinito.
Primeiro, n^2/n. Podemos escrever isso como e^(2 ln n)/n. Sabendo que ln n cresce mais devagar que n, temos:
limn to infty 2 ln nn = 0 Rightarrow limn to infty n^2/n = e^0 = 1
Segundo, 2^1/n. Sabemos que qualquer número positivo elevado a 0 é 1, então:
limn to infty 2^1/n = 1
Portanto:
limn to infty 2^1/n cdot n^2/n = 1 cdot 1 = 1

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema do Sanduíche, como vimos que:
n^2/n <= raiz[n]n^2+n <= 2^1/n cdot n^2/n
E ambos os limites das extremidades são 1 quando n tende ao infinito, concluímos que:
limn +infty raiz[n]n^2 + n = 1

Resposta

limn +infty raiz[n]n^2 + n = 1

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