Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o termo geral de uma sequência específica, verificar se essa sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando n cresce indefinidamente) e, para as que convergem, determinar esse limite. Além disso, precisamos encontrar o termo de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, fórmulas gerais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência dada:
Observamos que cada termo pode ser escrito como
, onde
(fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros positivos até n. Portanto, o termo geral da sequência é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce muito mais rápido que a exponencial. Isso significa que, conforme
aumenta,
se torna muito maior que
, fazendo com que a razão
tende a zero. Portanto:
Assim, a sequência converge e o seu limite é 0.
Passo 4
Por fim, precisamos encontrar o termo de ordem
. Basta substituir
por
na fórmula do termo geral:
Resposta
O termo geral da sequência é
. A sequência converge para 0. O termo de ordem
é
.
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em qualquer intervalo
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Considere a EDO
com
tais que
e
. Mostre que:
é a solução geral da EDO.
Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência
?
( )
( )
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;