Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
(2, 2^21 cdot 2, 2^31 cdot 2 cdot 3, 2^41 cdot 2 cdot 3 cdot 4, 2^51 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5, cdots)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o termo geral de uma sequência específica, verificar se essa sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando n cresce indefinidamente) e, para as que convergem, determinar esse limite. Além disso, precisamos encontrar o termo de ordem . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, fórmulas gerais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência dada:
(2, 2^21 cdot 2, 2^31 cdot 2 cdot 3, 2^41 cdot 2 cdot 3 cdot 4, 2^51 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5, cdots)
Observamos que cada termo pode ser escrito como an = 2^nn! , onde (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros positivos até n. Portanto, o termo geral da sequência é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, calculamos o limite quando limn to infty 2^nn! tende ao infinito:
limn to infty 2^nn! = 0
Sabemos que o fatorial cresce muito mais rápido que a exponencial. Isso significa que, conforme aumenta, se torna muito maior que , fazendo com que a razão tende a zero. Portanto:
Assim, a sequência converge e o seu limite é 0.

Passo 4

Por fim, precisamos encontrar o termo de ordem an+1 = 2^n+1(n+1)! . Basta substituir por na fórmula do termo geral:

Resposta

O termo geral da sequência é . A sequência converge para 0. O termo de ordem é .

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