Universidade Federal Rural de Pernambuco <br> Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Cálculo Diferencial e Integral IV <br> Professor: Serginei Liberato <br> Período 2024.1 <br> Lista Greve - Parte 1
As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? em qualquer intervalo
Passo 1
Então, a gente recebeu o seguinte problema: queremos saber se as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear de funções e calcular algo chamado Wronskiano, que ajuda a determinar se as funções são independentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, se nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra, elas são independentes. Para testar isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta matemática que nos dá uma medida dessa independência.
Passo 3
O Wronskiano de duas funções e é definido por:
Vamos calcular isso para as nossas funções e .
Primeiro, encontramos as derivadas:
Agora, substituímos no Wronskiano:
Simplificando:
Resposta
Como para qualquer valor de (desde que ), concluímos que as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo.