Universidade Federal Rural de Pernambuco <br> Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Cálculo Diferencial e Integral IV <br> Professor: Serginei Liberato <br> Período 2024.1 <br> Lista Greve - Parte 1

As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em qualquer intervalo

Passo 1

Então, a gente recebeu o seguinte problema: queremos saber se as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear de funções e calcular algo chamado Wronskiano, que ajuda a determinar se as funções são independentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, se nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra, elas são independentes. Para testar isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta matemática que nos dá uma medida dessa independência.

Passo 3

O Wronskiano de duas funções e é definido por:
Vamos calcular isso para as nossas funções e .
Primeiro, encontramos as derivadas:
Agora, substituímos no Wronskiano:
Simplificando:

Resposta

Como para qualquer valor de (desde que ), concluímos que as funções e são linearmente independentes em qualquer intervalo.

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Considere a EDO com tais que e . Mostre que:
é a solução geral da EDO.

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Mostre que para todo , ou seja, e são LI. Este resultado mostra que se é solução da EDO e tivermos então é solução geral da EDO.
Dê o termo de ordem das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência ?
( )