(a) Em termos de vetores unitários, calcule a soma e a diferença entre os vetores a=3,0 i-4,0 j e b=-2,0 i+3,0 j. Determine (b) o módulo do vetor a+b e © o sentido de a+b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de vetores! Aqui, a gente vai trabalhar com vetores no plano cartesiano, usando os vetores a e b fornecidos. Precisamos calcular a soma e a diferença desses vetores, encontrar o módulo da soma e determinar o sentido dela. Para isso, vamos usar operações básicas com vetores e conceitos de magnitude e direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somar e subtrair vetores. Se temos dois vetores a = ax i + ay j e b = bx i + by j, a soma deles é:
a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j
E a diferença é:
a - b = (ax - bx) i + (ay - by) j
Vamos aplicar isso aos nossos vetores.

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos vetores:
a = 3,0 i - 4,0 j b = -2,0 i + 3,0 j
Agora, vamos calcular a soma a + b:
a + b = (3,0 + (-2,0)) i + (-4,0 + 3,0) j a + b = 1,0 i - 1,0 j

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença a - b:
a - b = (3,0 - (-2,0)) i + (-4,0 - 3,0) j a - b = 5,0 i - 7,0 j

Passo 5

Agora que temos a + b = 1,0 i - 1,0 j, vamos encontrar o módulo desse vetor. O módulo de um vetor v = vx i + vy j é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando isso:
|a + b| = raiz(1,0)^2 + (-1,0)^2 |a + b| = raiz1,0 + 1,0 |a + b| = raiz2,0 |a + b| = raiz2 unidades

Passo 6

Por fim, vamos determinar o sentido de a + b = 1,0 i - 1,0 j. O sentido de um vetor pode ser encontrado calculando o ângulo que ele forma com o eixo i. Usamos a tangente do ângulo:
tan(theta) = vyvx
Aqui:
tan(theta) = -1,01,0 = -1,0
Para encontrar theta, tiramos o arco-tangente:
theta = arctan(-1,0) = -45^circ
Como o ângulo negativo indica direção abaixo do eixo i, o sentido do vetor é 45 graus abaixo do eixo i.

Resposta

(a) A soma dos vetores é a + b = 1,0 i - 1,0 j e a diferença é a - b = 5,0 i - 7,0 j.
(b) O módulo de a + b é raiz2 unidades.
© O sentido de a + b é 45 graus abaixo do eixo i.

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