(Teste T1 - 2017.2) Dada a função
, faça o que se pede. Determine o conjunto imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o conjunto imagem da função
. Isso significa que queremos descobrir todos os valores que
pode assumir quando
varia nos números reais, exceto onde a função não está definida. Para resolver isso, vamos precisar saber lidar com valores absolutos e entender como eles se comportam em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os valores absolutos na função. Sabemos que
e
mudam de comportamento dependendo do valor de
. Vamos identificar os pontos onde essas expressões mudam:
-
muda quando ou seja, em . -
muda quando ou seja, em .
Então, temos três intervalos para considerar:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 3
1. Intervalo
:
Nesse intervalo,
e
, então:
Substituindo na função:
Como
,
é negativo, então
é positivo. Vamos simplificar:
2. Intervalo
:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na função:
3. Intervalo
:
Neste caso,
e
, então:
Substituindo na função:
Como
,
é positivo, então
também é positivo.
Passo 4
Agora vamos resumir os resultados de cada intervalo:
- Para
: e como é negativo, é positivo. - Para
: . - Para
: e como é positivo, também é positivo.
Vamos ver os limites dessas expressões:
- Quando
se aproxima de , tende a 0. - No intervalo
, . - Quando
se aproxima de , tende a 0.
Então,
varia de 0 a 2.
Resposta
O conjunto imagem de
é o intervalo
.