(Teste T1 - 2017.2) Dada a função f(x) = |x+1| - |x-1| / x, faça o que se pede. Determine o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o conjunto imagem da função . Isso significa que queremos descobrir todos os valores que pode assumir quando varia nos números reais, exceto onde a função não está definida. Para resolver isso, vamos precisar saber lidar com valores absolutos e entender como eles se comportam em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os valores absolutos na função. Sabemos que e mudam de comportamento dependendo do valor de . Vamos identificar os pontos onde essas expressões mudam:
  • muda quando ou seja, em .
  • muda quando ou seja, em .
Então, temos três intervalos para considerar:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 3

1. Intervalo :
Nesse intervalo, e , então:
Substituindo na função:
Como , é negativo, então é positivo. Vamos simplificar:
2. Intervalo :
Aqui, e , então:
Substituindo na função:
3. Intervalo :
Neste caso, e , então:
Substituindo na função:
Como , é positivo, então também é positivo.

Passo 4

Agora vamos resumir os resultados de cada intervalo:
  1. Para : e como é negativo, é positivo.
  2. Para : .
  3. Para : e como é positivo, também é positivo.
Vamos ver os limites dessas expressões:
  • Quando se aproxima de , tende a 0.
  • No intervalo , .
  • Quando se aproxima de , tende a 0.
Então, varia de 0 a 2.

Resposta

O conjunto imagem de é o intervalo .

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