(UNESP) Considere a função f: R -> R definida por f(x) = 2x - 1. Determine todos os valores de m em R para os quais é válida a igualdade:
f(m^2) - 2 f(m) + f(2m) = m/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função e precisamos encontrar todos os valores de que satisfazem a igualdade:
Vamos precisar usar a definição da função e fazer umas substituições para achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cada parte da expressão usando a função :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na equação original:
Substituindo cada parte:

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
Primeiro, distribua o -2 no :
Agora, combine os termos semelhantes:
Simplificando mais:
Ou seja:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Agora, traga tudo para um lado da equação:
Fatorando :

Passo 6

Agora, igualamos cada fator a zero:

Resposta

Os valores de que satisfazem a igualdade são e .

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