Use séries para calcular o limite
lim x 0 x-arctan xx^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar séries de Taylor, que são ferramentas da matemática que nos ajudam a aproximar funções perto de um ponto, nesse caso, perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função arctan x = x - x^33 + x^55 - x^77 + cdots perto de 0. A série é assim:
Como estamos trabalhando com bem pequeno, podemos usar apenas os primeiros termos dessa série para simplificar nossa conta.

Passo 3

Agora, vamos substituir a série de x - arctan xx^3 = x - ( x - x^33 + cdots )x^3 na nossa expressão original:
= x - x + x^33 - cdotsx^3
Distribuindo o sinal negativo dentro do parênteses:
= x^33 - cdotsx^3 = x^33x^3 - cdots = 13 - cdots
Simplificando os termos semelhantes:
Os termos que vêm depois (como , , etc.) ficam divididos por e, quando se aproxima de 0, esses termos tendem a zero.

Resposta

Então, o limite é .

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