Teste a convergência ou divergência das séries
sum 1n raizln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita da forma . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo que nos ajudam a testar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma série. Uma série é a soma de infinitos termos, e para saber se ela converge ou diverge, usamos testes específicos. No nosso caso, temos uma série da forma .
Aqui, é uma variável que vai aumentando sem limite, e é o logaritmo natural de . O denominador da nossa fração cresce conforme aumenta, mas vamos ver como isso afeta a soma total.

Passo 3

Uma das ferramentas mais úteis para testar a convergência de séries é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se você tem uma série onde é uma função positiva, decrescente e contínua para (algum número natural ), então a série converge se e somente se a integral de de até o infinito converge.
No nosso caso, , que é positiva e decrescente para suficientemente grande. Então, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos configurar a integral correspondente à nossa série:
integralN^infty 1x raizln x , dx
Precisamos avaliar se essa integral converge ou diverge.

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição inteligente. Vamos deixar dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt . Então, a derivada de integral 1x raizt cdot x , dt = integral 1raizt , dt em relação a integral 1raizt , dt é:
Agora, substituímos na integral:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa nova integral:
integral 1raizt , dt = 2 raizt + C
Agora, precisamos avaliar os limites de integração. Quando limt to infty 2 raizt - 2 raizt0 , . Portanto, a integral se torna:
Onde é uma constante.

Passo 7

Observando o limite, vemos que:
limt to infty 2 raizt = infty
Isso significa que a integral diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série diverge.

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