Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita da forma
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo que nos ajudam a testar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é uma série. Uma série é a soma de infinitos termos, e para saber se ela converge ou diverge, usamos testes específicos. No nosso caso, temos uma série da forma
.
Aqui,
é uma variável que vai aumentando sem limite, e
é o logaritmo natural de
. O denominador da nossa fração cresce conforme
aumenta, mas vamos ver como isso afeta a soma total.
Passo 3
Uma das ferramentas mais úteis para testar a convergência de séries é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se você tem uma série
onde
é uma função positiva, decrescente e contínua para
(algum número natural
), então a série converge se e somente se a integral de
de
até o infinito converge.
No nosso caso,
, que é positiva e decrescente para
suficientemente grande. Então, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Vamos configurar a integral correspondente à nossa série:
Precisamos avaliar se essa integral converge ou diverge.
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição inteligente. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Agora, substituímos na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa nova integral:
Agora, precisamos avaliar os limites de integração. Quando
,
. Portanto, a integral se torna:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Observando o limite, vemos que:
Isso significa que a integral diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série
diverge.
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