Teste a convergência ou divergência das séries
sum 1n+n cos n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para descobrir o que acontece com essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que podemos fatorar 1n + n cos n = 1n (1 + cos n) no denominador:
Isso nos ajuda a entender melhor o comportamento dos termos.

Passo 3

Agora, vamos pensar no comportamento de . Sabemos que oscila entre e . Portanto, varia entre e . Isso significa que o denominador pode ficar bem pequeno quando se aproxima de , fazendo com que a fração fique grande.

Passo 4

Para testar a convergência da série, podemos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar nossa série com a série , que é uma série harmônica conhecida por divergir.

Passo 5

Observando 1n(1 + cos n) >= 1n cdot 2 = 12n , sabemos que . Então:

Passo 6

A série é basicamente metade da série harmônica , que diverge. Segundo o Teste da Comparação, se uma série maior ou igual a uma série que diverge, então a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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