Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar se a série
converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para descobrir o que acontece com essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que podemos fatorar
no denominador:
Isso nos ajuda a entender melhor o comportamento dos termos.
Passo 3
Agora, vamos pensar no comportamento de
. Sabemos que
oscila entre
e
. Portanto,
varia entre
e
. Isso significa que o denominador
pode ficar bem pequeno quando
se aproxima de
, fazendo com que a fração
fique grande.
Passo 4
Para testar a convergência da série, podemos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar nossa série com a série
, que é uma série harmônica conhecida por divergir.
Passo 5
Observando
, sabemos que
. Então:
Passo 6
A série
é basicamente metade da série harmônica
, que diverge. Segundo o Teste da Comparação, se uma série maior ou igual a uma série que diverge, então a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Teste a convergência ou divergência das séries
Teste a convergência ou divergência das séries
Teste a convergência ou divergência das séries
Teste a convergência ou divergência das séries