Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é a das séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série original . Essa é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
para todo ,
é decrescente,
.
No nosso caso, .
Passo 4
Vamos verificar as condições:
Positividade: é positivo para (já que é positivo nesse intervalo).
Decrescente: é decrescente porque, conforme aumenta, aumenta, fazendo diminuir.
Limite zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Agora, para saber se a convergência é absoluta ou condicional, precisamos testar a Convergência Absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge.
Passo 6
Para testar a convergência da série integral2^infty 1x ln x , dx = ln (ln x) g|2^infty = limx to infty ln (ln x) - ln (ln 2) , usamos o Teste da Integral. Integramos :
Como tende ao infinito quando vai para o infinito, a integral diverge. Portanto, a série também diverge.