Teste a convergência ou divergência das séries
sum (-1)^nn ln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é a das séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série original . Essa é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. para todo ,
  2. é decrescente,
  3. .
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. Positividade: é positivo para (já que é positivo nesse intervalo).
  2. Decrescente: é decrescente porque, conforme aumenta, aumenta, fazendo diminuir.
  3. Limite zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Agora, para saber se a convergência é absoluta ou condicional, precisamos testar a Convergência Absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge.

Passo 6

Para testar a convergência da série integral2^infty 1x ln x , dx = ln (ln x) g|2^infty = limx to infty ln (ln x) - ln (ln 2) , usamos o Teste da Integral. Integramos :
Como tende ao infinito quando vai para o infinito, a integral diverge. Portanto, a série também diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries
sum 1n raizln n
Teste a convergência ou divergência das séries
sum 1n+n cos n
Teste a convergência ou divergência das séries
sum(-1)^n nn^2+2
Teste a convergência ou divergência das séries
sum n!2 cdot 5 cdot 8 cdot(3 n+2)