Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e critérios de convergência. Vamos passo a passo entender como resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque tem o termo
, que alterna os sinais dos termos da série. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante.
Passo 3
Agora, para testar a convergência de uma série alternada, a gente pode usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes: . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 4
Vamos aplicar essas condições ao nosso caso. Aqui,
.
Primeiro, vamos ver se
é decrescente. Para isso, a gente pode comparar
com
:
É fácil ver que conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então
. Assim, os termos estão decrescendo.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, o limite é zero.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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