Teste a convergência ou divergência das séries
sum(-1)^n nn^2+2

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e critérios de convergência. Vamos passo a passo entender como resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque tem o termo , que alterna os sinais dos termos da série. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante.

Passo 3

Agora, para testar a convergência de uma série alternada, a gente pode usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes: .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero: .

Passo 4

Vamos aplicar essas condições ao nosso caso. Aqui, an+1 = n+1(n+1)^2 + 2 = n+1n^2 + 2n + 3 .
Primeiro, vamos ver se é decrescente. Para isso, a gente pode comparar com :
É fácil ver que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então . Assim, os termos estão decrescendo.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty nn^2 + 2 quando limn to infty nn^2n^2n^2 + 2n^2 = limn to infty 1n1 + 2n^2 = 01 + 0 = 0 vai para o infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por :
Então, o limite é zero.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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