Teste a convergência ou divergência das séries
sum sen 2 n1+2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série . A matéria envolvida aqui é o estudo de séries numéricas, mais especificamente os critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre limites de termos e aplicar um critério de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série, ou seja, . Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1, então . Isso significa que o numerador está sempre limitado por esse intervalo, enquanto o denominador cresce exponencialmente à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando limn to infty sin 2n1 + 2^n = valor limitado entre -1 e 1crescente para infinito = 0 tende ao infinito:
Esse limite sendo zero é uma condição necessária para a convergência da série, mas não garante por si só a convergência.

Passo 4

Para determinar a convergência, vamos comparar essa série com uma série conhecida. Observamos que , já que . Sabemos que a série é geométrica com razão , que é menor que 1, o que significa que ela converge.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação, se para todo e converge, então também converge. No nosso caso, , e sabemos que converge.

Resposta

Portanto, pela comparação com uma série geométrica convergente, concluímos que a série converge.

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