Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série
. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries numéricas, mais especificamente os critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre limites de termos e aplicar um critério de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série, ou seja,
. Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1, então
. Isso significa que o numerador está sempre limitado por esse intervalo, enquanto o denominador
cresce exponencialmente à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Esse limite sendo zero é uma condição necessária para a convergência da série, mas não garante por si só a convergência.
Passo 4
Para determinar a convergência, vamos comparar essa série com uma série conhecida. Observamos que
, já que
. Sabemos que a série
é geométrica com razão
, que é menor que 1, o que significa que ela converge.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação, se
para todo
e
converge, então
também converge. No nosso caso,
, e sabemos que
converge.
Resposta
Portanto, pela comparação com uma série geométrica convergente, concluímos que a série
converge.
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