Teste a convergência ou divergência das séries
sum n!2 cdot 5 cdot 8 cdot(3 n+2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série
sum n!2 cdot 5 cdot 8 cdot(3 n+2)
Tema: Teste de convergência de séries infinitas.
O que vamos precisar: Conhecer o Teste da Razão e entender como aplicar limitação de termos envolvendo fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa testar a convergência de uma série. Basicamente, queremos saber se a soma dos termos da série chega a um número finito ou não conforme cresce indefinidamente.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos com fatoriais. Esse teste diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 4

Vamos identificar an = n!2 cdot 5 cdot 8 cdot(3 n+2) na nossa série:
an = n!80 cdot (3n + 2) (pois 2 cdot 5 cdot 8 = 80)
Simplificando o denominador:

Passo 5

Agora, vamos calcular an+1 = (n+1)!80 cdot (3(n+1) + 2) = (n+1) cdot n!80 cdot (3n + 5) :

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1) cdot n!80 cdot (3n + 5) cdot 80 cdot (3n + 2)n! = limn to infty n+11 cdot 3n + 23n + 5
Simplificando:
L = limn to infty (n+1) cdot 3n + 23n + 5

Passo 7

Vamos analisar o limite:
L = limn to infty (n+1) cdot 3n + 23n + 5
Dividindo numerador e denominador por L = limn to infty (1 + 1n) cdot 3 + 2n3 + 5n = (1 + 0) cdot 3 + 03 + 0 = 1 cdot 1 = 1 :

Passo 8

No Teste da Razão, se , o teste é inconclusivo. Então precisamos tentar outro teste para determinar a convergência ou divergência da série.

Passo 9

Outra opção é o Teste da Série Comparativa ou o Teste de Termo Geral. Vamos usar o Teste de Termo Geral, que diz que se:
limn to infty an neq 0
então a série diverge.
Vamos calcular:
limn to infty n!80 cdot (3n + 2)
Sabemos que limn to infty n!80 cdot (3n + 2) = infty neq 0 cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então:

Resposta

A série diverge.

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