Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty(-1)^n sen 1n

Passo 1

Então, temos aqui um exercício de cálculo de séries, onde precisamos testar a convergência ou divergência da série:
Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a série é alternada por causa do termo (-1)^n. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo (positivo, negativo, positivo, etc.). Para séries alternadas, existe um teste específico chamado Teste da Série Alternada que a gente pode aplicar.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são decrescentes, ou seja, bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite de bn tende a zero quando n tende ao infinito, ou seja, limn to infty bn = 0.
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: bn é decrescente.
Sabemos que para x > 0, é uma função crescente até sen x. Mas aqui temos e conforme x = pi2 aumenta, sen 1n diminui. Então, também diminui à medida que n aumenta, o que significa que 1n é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: limn to infty bn = 0.
Calculando o limite:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Passo 6

Já que ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas (os termos são decrescentes e o limite dos termos é zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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