Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Então, temos aqui um exercício de cálculo de séries, onde precisamos testar a convergência ou divergência da série:
Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a série é alternada por causa do termo . Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo (positivo, negativo, positivo, etc.). Para séries alternadas, existe um teste específico chamado Teste da Série Alternada que a gente pode aplicar.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite de tende a zero quando tende ao infinito, ou seja, .
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: é decrescente.
Sabemos que para , é uma função crescente até . Mas aqui temos e conforme aumenta, diminui. Então, também diminui à medida que aumenta, o que significa que é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: .
Calculando o limite:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Passo 6

Já que ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas (os termos são decrescentes e o limite dos termos é zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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