Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Então, temos aqui um exercício de cálculo de séries, onde precisamos testar a convergência ou divergência da série:
Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a série é alternada por causa do termo
. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo (positivo, negativo, positivo, etc.). Para séries alternadas, existe um teste específico chamado Teste da Série Alternada que a gente pode aplicar.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite de
tende a zero quando tende ao infinito, ou seja, .
No nosso caso, .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição:
é decrescente.
Sabemos que para
, é uma função crescente até
. Mas aqui temos e conforme
aumenta,
diminui. Então, também diminui à medida que
aumenta, o que significa que
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição:
.
Calculando o limite:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.
Passo 6
Já que ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas (os termos são decrescentes e o limite dos termos é zero), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série converge.
Exercícios relacionados
Teste a convergência ou divergência das séries.
Qual é o valor de
se
Teste a convergência ou divergência das séries.
Teste a convergência ou divergência das séries.