Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente descobrir se um certo conjunto, junto com as operações que a gente costuma usar, é um espaço vetorial. Se não for, a gente tem que dizer qual dos dez axiomas de espaço vetorial não funciona. O conjunto em questão aqui é de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar (números reais, por exemplo). Essas operações precisam seguir certas regras chamadas axiomas para que o conjunto seja considerado um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos listar os axiomas básicos que um espaço vetorial precisa satisfazer:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
- Inverso aditivo: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no conjunto.
- Associatividade da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalares em relação à adição de escalares:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Passo 4
Agora, vamos verificar se o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro, que a gente pode chamar de
, satisfaz todos esses axiomas quando usamos a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar.
Passo 5
Fechamento da adição: Se pegarmos dois polinômios de grau <=4 e somarmos, o resultado também será um polinômio de grau <=4. Por exemplo, se
e
, então
, que ainda tem grau 4. Então, esse axioma é válido.
Passo 6
Comutatividade da adição: A ordem na soma dos polinômios não altera o resultado. Continuando com os mesmos polinômios,
. Isso funciona porque a adição de termos semelhantes é comutativa. Então, esse axioma também é válido.
Passo 7
Associatividade da adição: Se somarmos três polinômios, a ordem como a gente agrupa não muda o resultado. Por exemplo,
. Isso acontece porque a adição de polinômios é associativa. A gente pode verificar com exemplos concretos, e sempre dá certo. Axioma válido.
Passo 8
Elemento neutro da adição: Existe um polinômio que, quando somado a qualquer outro, não altera este último. Esse polinômio é o polinômio zero
. Por exemplo,
. Então, esse axioma está ok.
Passo 9
Inverso aditivo: Para cada polinômio
, existe um polinômio
tal que
. Se
, então
, e somando dá o polinômio zero. Esse axioma também funciona.
Passo 10
Fechamento da multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de
por um número real
, o resultado será outro polinômio de grau <=4. Por exemplo,
, que ainda tem grau 4. Axioma válido.
Passo 11
Associatividade da multiplicação por escalar: Para quaisquer números reais
e
e qualquer polinômio
, temos
. Multiplicando os coeficientes, fica claro que ambos os lados são iguais. Axioma válido.
Passo 12
Distributividade da multiplicação por escalares em relação à adição de escalares: Para quaisquer números reais
e
e polinômio
,
. Distribuindo o escalar, ambos os lados são iguais. Axioma válido.
Passo 13
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer número real
e polinômios
e
,
. Multiplicando cada termo pelo escalar, a igualdade se mantém. Axioma válido.
Passo 14
Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar um polinômio por 1 não altera o polinômio. Ou seja,
. Isso é verdade para qualquer polinômio. Axioma válido.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, ele é um espaço vetorial.
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