Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente descobrir se um certo conjunto, junto com as operações que a gente costuma usar, é um espaço vetorial. Se não for, a gente tem que dizer qual dos dez axiomas de espaço vetorial não funciona. O conjunto em questão aqui é de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar (números reais, por exemplo). Essas operações precisam seguir certas regras chamadas axiomas para que o conjunto seja considerado um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos listar os axiomas básicos que um espaço vetorial precisa satisfazer:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição:
  3. Associatividade da adição:
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
  5. Inverso aditivo: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no conjunto.
  7. Associatividade da multiplicação por escalar:
  8. Distributividade da multiplicação por escalares em relação à adição de escalares:
  9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro, que a gente pode chamar de , satisfaz todos esses axiomas quando usamos a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar.

Passo 5

Fechamento da adição: Se pegarmos dois polinômios de grau <=4 e somarmos, o resultado também será um polinômio de grau <=4. Por exemplo, se e , então , que ainda tem grau 4. Então, esse axioma é válido.

Passo 6

Comutatividade da adição: A ordem na soma dos polinômios não altera o resultado. Continuando com os mesmos polinômios, . Isso funciona porque a adição de termos semelhantes é comutativa. Então, esse axioma também é válido.

Passo 7

Associatividade da adição: Se somarmos três polinômios, a ordem como a gente agrupa não muda o resultado. Por exemplo, . Isso acontece porque a adição de polinômios é associativa. A gente pode verificar com exemplos concretos, e sempre dá certo. Axioma válido.

Passo 8

Elemento neutro da adição: Existe um polinômio que, quando somado a qualquer outro, não altera este último. Esse polinômio é o polinômio zero . Por exemplo, . Então, esse axioma está ok.

Passo 9

Inverso aditivo: Para cada polinômio , existe um polinômio tal que . Se , então , e somando dá o polinômio zero. Esse axioma também funciona.

Passo 10

Fechamento da multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de por um número real , o resultado será outro polinômio de grau <=4. Por exemplo, , que ainda tem grau 4. Axioma válido.

Passo 11

Associatividade da multiplicação por escalar: Para quaisquer números reais e e qualquer polinômio , temos . Multiplicando os coeficientes, fica claro que ambos os lados são iguais. Axioma válido.

Passo 12

Distributividade da multiplicação por escalares em relação à adição de escalares: Para quaisquer números reais e e polinômio , . Distribuindo o escalar, ambos os lados são iguais. Axioma válido.

Passo 13

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer número real e polinômios e , . Multiplicando cada termo pelo escalar, a igualdade se mantém. Axioma válido.

Passo 14

Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar um polinômio por 1 não altera o polinômio. Ou seja, . Isso é verdade para qualquer polinômio. Axioma válido.

Resposta

Sim, o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, ele é um espaço vetorial.

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