Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto
é um número real
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos analisar se o conjunto
é um espaço vetorial. Isso está relacionado com os conceitos de espaços vetoriais e seus axiomas. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz todos os dez axiomas de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer desse conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto. Seja
e
. A soma é:
Como
é um número real, a soma
ainda está no conjunto. Então, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real
, o resultado também deve pertencer ao conjunto. Seja
e
um escalar. A multiplicação é:
Como
é um número real, o vetor
também está no conjunto. Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Vamos verificar a existência do vetor zero. O vetor zero deve satisfazer
. No conjunto, temos
. Para que
, precisamos que
. Então,
está no conjunto.
Passo 5
Vamos checar se para cada vetor existe um vetor oposto. Ou seja, para cada
, deve existir
. Claramente,
também está no conjunto, então isso está ok.
Passo 6
Agora, vamos verificar a propriedade da associatividade da adição. Para três vetores
no conjunto, temos:
Já mostramos que o conjunto é fechado sob adição, então a associatividade também é mantida.
Passo 7
Verificamos a comutatividade da adição:
. Isso é verdadeiro porque a soma de componentes é comutativa.
Passo 8
Vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares. Para escalares
e
e vetor
:
Isso é válido aqui, já que
.
Passo 9
Verificamos a distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
Como vimos na adição, isso funciona porque
.
Passo 10
Por fim, verificamos a distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
Isso também se mantém porque
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, ele é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a quatro
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de quinto grau
O conjunto de todos os polinômios de quinto grau
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
O conjunto de todas as matrizes
Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
O conjunto de todas as matrizes