Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto
é um número real

Passo 1

Beleza, vamos analisar se o conjunto éú é um espaço vetorial. Isso está relacionado com os conceitos de espaços vetoriais e seus axiomas. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz todos os dez axiomas de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer desse conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto. Seja e . A soma é:
Como é um número real, a soma ainda está no conjunto. Então, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real , o resultado também deve pertencer ao conjunto. Seja e um escalar. A multiplicação é:
Como é um número real, o vetor também está no conjunto. Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Vamos verificar a existência do vetor zero. O vetor zero deve satisfazer . No conjunto, temos . Para que , precisamos que . Então, está no conjunto.

Passo 5

Vamos checar se para cada vetor existe um vetor oposto. Ou seja, para cada , deve existir . Claramente, também está no conjunto, então isso está ok.

Passo 6

Agora, vamos verificar a propriedade da associatividade da adição. Para três vetores no conjunto, temos:
Já mostramos que o conjunto é fechado sob adição, então a associatividade também é mantida.

Passo 7

Verificamos a comutatividade da adição: . Isso é verdadeiro porque a soma de componentes é comutativa.

Passo 8

Vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares. Para escalares e e vetor :
Isso é válido aqui, já que .

Passo 9

Verificamos a distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
Como vimos na adição, isso funciona porque .

Passo 10

Por fim, verificamos a distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
Isso também se mantém porque .

Resposta

O conjunto éú satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, ele é um espaço vetorial.

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