Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se o conjunto de todas as matrizes da forma , com as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Pra isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar um por um se eles são satisfeitos nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter um elemento neutro, que no caso das matrizes seria a matriz zero. A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero: .
Passo 3
Agora, vamos ver se a matriz zero está no nosso conjunto. Olha só, no nosso conjunto, a posição sempre tem o número 1. Mas na matriz zero, essa posição tem 0. Então, a matriz zero não pertence ao nosso conjunto.
Passo 4
Como o espaço vetorial precisa ter um elemento neutro (a matriz zero) e esse elemento não está no nosso conjunto, já podemos dizer que esse conjunto não é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes da forma não é um espaço vetorial porque não contém o elemento neutro (a matriz zero), violando assim um dos axiomas de espaço vetorial.