Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se o conjunto de todas as matrizes da forma , com as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Pra isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar um por um se eles são satisfeitos nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter um elemento neutro, que no caso das matrizes seria a matriz zero. A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero: .

Passo 3

Agora, vamos ver se a matriz zero está no nosso conjunto. Olha só, no nosso conjunto, a posição sempre tem o número 1. Mas na matriz zero, essa posição tem 0. Então, a matriz zero não pertence ao nosso conjunto.

Passo 4

Como o espaço vetorial precisa ter um elemento neutro (a matriz zero) e esse elemento não está no nosso conjunto, já podemos dizer que esse conjunto não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes da forma não é um espaço vetorial porque não contém o elemento neutro (a matriz zero), violando assim um dos axiomas de espaço vetorial.

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