Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se um certo conjunto de matrizes com uma forma específica é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as condições (ou axiomas) que ele precisa cumprir. Vamos conferir cada uma dessas condições para ver se o conjunto dado se encaixa direitinho como um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa conter o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero é a matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero. Olhando para a forma das matrizes no conjunto:
Portanto, o vetor zero está no conjunto. Isso mostra que a primeira condição está ok.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado em relação à adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes desse conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja:
A = 0 & a & b c & 0 & d e & f & 0 , B = 0 & a' & b' c' & 0 & d' e' & f' & 0
Como todas as entradas diagonais continuam sendo zero e as demais são combinações lineares de , a soma também pertence ao conjunto. Então, a condição de fechamento pela adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos uma matriz qualquer do conjunto por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Pegue uma matriz kA = k 0 & a & b c & 0 & d e & f & 0 = 0 & ka & kb kc & 0 & kd ke & kf & 0 do conjunto e um escalar :
Como as entradas diagonais continuam sendo zero e as demais são multiplicadas por , o resultado também está no conjunto. Ou seja, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como verificamos que o conjunto contém o vetor zero, é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar, podemos concluir que ele satisfaz todas as condições necessárias para ser um espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas porque essas três condições já definem um subespaço vetorial.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes lll0 & a & b c & 0 & d e & f & 0 da forma com as operações usuais forma um espaço vetorial.