Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre testes de convergência de séries, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e calcular o limite dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os sinais e os coeficientes, vemos que os termos alternam entre positivo e negativo e seguem o padrão:
Aqui, começa em 1 e vai aumentando infinitamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite dos termos tende a zero quando vai para o infinito, ou seja, .
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Série Alternada, para a série convergir, o limite de deve ser zero. No nosso caso, o limite é 1, que não é zero. Portanto, a série não atende às condições necessárias para o Teste da Série Alternada.

Resposta

A série diverge.

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