Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre testes de convergência de séries, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e calcular o limite dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os sinais e os coeficientes, vemos que os termos alternam entre positivo e negativo e seguem o padrão:
Aqui,
começa em 1 e vai aumentando infinitamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite dos termos
tende a zero quando vai para o infinito, ou seja, .
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 5
De acordo com o Teste da Série Alternada, para a série convergir, o limite de
deve ser zero. No nosso caso, o limite é 1, que não é zero. Portanto, a série não atende às condições necessárias para o Teste da Série Alternada.
Resposta
A série diverge.
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