Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado à matéria de séries infinitas, especificamente testando a convergência delas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se uma série com termos que alternam sinais converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observando, vemos que os termos são da forma
, onde
começa em 1. Isso significa que a série alterna sinais entre positivo e negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- A sequência
é decrescente: para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição. Os termos
são decrescentes porque, conforme
aumenta, o denominador fica maior, fazendo com que
diminua. Por exemplo,
e assim por diante.
Passo 5
Agora, a segunda condição. Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso confirma que o segundo requisito do teste é atendido.
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série
converge.