Teste a série quanto a convergência ou divergência. 3/5 - 3/6 + 3/7 - 3/8 + 3/9 - ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente testar se a série 3/5 - 3/6 + 3/7 - 3/8 + 3/9 - ... converge ou diverge. Isso está relacionado à matéria de séries infinitas, especificamente testando a convergência delas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se uma série com termos que alternam sinais converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observando, vemos que os termos são da forma , onde n começa em 1. Isso significa que a série alterna sinais entre positivo e negativo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência é decrescente: para todo n.
  2. O limite de quando n tende ao infinito é zero: .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Os termos são decrescentes porque, conforme n aumenta, o denominador fica maior, fazendo com que diminua. Por exemplo, e assim por diante.

Passo 5

Agora, a segunda condição. Calculamos o limite de quando n tende ao infinito:
Isso confirma que o segundo requisito do teste é atendido.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série 3/5 - 3/6 + 3/7 - 3/8 + 3/9 - ... converge.

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