Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você enviou uma série infinita: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para fazer isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os termos, percebemos que eles alternam entre positivo e negativo, e o denominador aumenta de 3 em 3 a partir de 2. Então, podemos expressar o termo geral da série como:
Aqui, começa em 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa é uma série alternada. Uma série é alternada se seus termos mudam de sinal em sequência, ou seja, positivo, negativo, positivo, e assim por diante. No nosso caso, temos essa alternância de sinais, então podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 4

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite dos termos é zero: .
Vamos verificar essas condições para nossa série.
  1. Decrescimento: Observamos que o denominador aumenta conforme aumenta, então diminui. Portanto, é decrescente.
  2. Limite dos termos: Calculando o limite,
Então, a segunda condição também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada.

Exercícios relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.