Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você enviou uma série infinita:
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para fazer isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando os termos, percebemos que eles alternam entre positivo e negativo, e o denominador aumenta de 3 em 3 a partir de 2. Então, podemos expressar o termo geral da série como:
Aqui,
começa em 1.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa é uma série alternada. Uma série é alternada se seus termos mudam de sinal em sequência, ou seja, positivo, negativo, positivo, e assim por diante. No nosso caso, temos essa alternância de sinais, então podemos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 4
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite dos termos é zero:
.
Vamos verificar essas condições para nossa série.
- Decrescimento: Observamos que o denominador
aumenta conforme aumenta, então diminui. Portanto, é decrescente. - Limite dos termos: Calculando o limite,
Então, a segunda condição também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Série Alternada.
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