Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos a série
e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo
faz os sinais dos termos mudarem a cada termo. Séries alternadas têm sinais positivos e negativos alternando-se.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Este teste diz que uma série da forma
converge se três condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar as três condições:
-
Positividade:
é positivo para todo . -
Decrescimento: Conforme
aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes. -
Limite no infinito: Calculamos o limite de
quando tende ao infinito:
Passo 5
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.