Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos mudarem a cada termo. Séries alternadas têm sinais positivos e negativos alternando-se.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Este teste diz que uma série da forma converge se três condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior.
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

No nosso caso, . Vamos verificar as três condições:
  1. Positividade: é positivo para todo .
  2. Decrescimento: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
  3. Limite no infinito: Calculamos o limite de quando tende ao infinito:

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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