Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumi=1^infty 1raizi(i+1)

Passo 1

Beleza, temos uma série infinita para testar se ela converge ou diverge. A série é:
sumi=1^infty 1raizi(i+1)
Vamos trabalhar com conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que a gente aprende em cálculo, como o teste da comparação ou o teste integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor. Temos:
1raizi(i+1)
Isso pode ser reescrito usando propriedades das raízes:
1raizi(i+1) = 1raizi^2 + i
Para simplificar mais, vamos fatorar o i^2 dentro da raiz:
1raizi^2(1 + 1i) = 1iraiz1 + 1i
À medida que i cresce, 1i tende a zero, então:
1iraiz1 + 1i approx 1i

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com uma série que já conhecemos o comportamento, que é a série harmônica:
sumi=1^infty 1i
Sabemos que a série harmônica é divergente. Então, se a nossa série for maior ou igual a uma série divergente, ela também diverge.

Passo 4

Vamos verificar a comparação direta. Observamos que:
1raizi(i+1) > 1i + i = 12i
Isso porque raizi(i+1) < i + i = 2i, já que i(i+1) < (2i)^2 para i >= 1.
Então:
1raizi(i+1) > 12i

Passo 5

Agora, aplicando o teste da comparação, sabemos que:
sumi=1^infty 12i = 12 sumi=1^infty 1i
A série sumi=1^infty 1i é divergente, então múltiplos dela, como 12sumi=1^infty 1i, também são divergentes.
Como nossa série original é maior que uma série divergente, ela também diverge.

Resposta

A série sumi=1^infty 1raizi(i+1) diverge.

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