Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, temos uma série infinita para testar se ela converge ou diverge. A série é:
Vamos trabalhar com conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que a gente aprende em cálculo, como o teste da comparação ou o teste integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor. Temos:
Isso pode ser reescrito usando propriedades das raízes:
Para simplificar mais, vamos fatorar o dentro da raiz:
À medida que cresce, tende a zero, então:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com uma série que já conhecemos o comportamento, que é a série harmônica:
Sabemos que a série harmônica é divergente. Então, se a nossa série for maior ou igual a uma série divergente, ela também diverge.
Passo 4
Vamos verificar a comparação direta. Observamos que:
Isso porque , já que para .
Então:
Passo 5
Agora, aplicando o teste da comparação, sabemos que:
A série é divergente, então múltiplos dela, como , também são divergentes.
Como nossa série original é maior que uma série divergente, ela também diverge.
Resposta
A série **diverge**.
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