Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, temos uma série infinita para testar se ela converge ou diverge. A série é: Vamos trabalhar com conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que a gente aprende em cálculo, como o teste da comparação ou o teste integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor. Temos: Isso pode ser reescrito usando propriedades das raízes: Para simplificar mais, vamos fatorar o dentro da raiz: À medida que cresce, tende a zero, então:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com uma série que já conhecemos o comportamento, que é a série harmônica: Sabemos que a série harmônica é divergente. Então, se a nossa série for maior ou igual a uma série divergente, ela também diverge.

Passo 4

Vamos verificar a comparação direta. Observamos que: Isso porque , já que para . Então:

Passo 5

Agora, aplicando o teste da comparação, sabemos que: A série é divergente, então múltiplos dela, como , também são divergentes. Como nossa série original é maior que uma série divergente, ela também diverge.

Resposta

A série **diverge**.

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