Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer. A questão pede para a gente testar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente focando em como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que está dentro da série:
. Como
está indo para o infinito,
está indo para zero. Sabemos que para valores de
próximos de zero,
é aproximadamente igual a
. Ou seja,
quando
é grande.
Passo 3
Com essa aproximação, a série original
passa a se parecer com
. A série
é uma série p com
, e sabemos que ela converge porque
.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste do Limite da Comparação. Esse teste diz que se temos duas séries
e
com
para todo
, e se
onde
, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
Passo 5
Aplicando isso à nossa situação, deixamos
e
. Calculamos o limite:
Sabemos que
para
próximo de zero, então:
Passo 6
Como o limite deu
, que está entre 0 e
, pelo Teste do Limite da Comparação, a série original
converge se e somente se a série
converge. E já sabemos que
converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.
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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
onde
é a curva plana dada por
.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
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