Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer. A questão pede para a gente testar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente focando em como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que está dentro da série: . Como está indo para o infinito, está indo para zero. Sabemos que para valores de próximos de zero, é aproximadamente igual a . Ou seja, quando é grande.

Passo 3

Com essa aproximação, a série original passa a se parecer com . A série é uma série p com , e sabemos que ela converge porque .

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste do Limite da Comparação. Esse teste diz que se temos duas séries e com para todo , e se onde , então ambas as séries convergem ou divergem juntas.

Passo 5

Aplicando isso à nossa situação, deixamos e . Calculamos o limite:
Sabemos que para próximo de zero, então:

Passo 6

Como o limite deu , que está entre 0 e , pelo Teste do Limite da Comparação, a série original converge se e somente se a série converge. E já sabemos que converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

Exercícios relacionados

Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: onde é a curva plana dada por .
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.