Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty(-1)^n nraizn^3+2

Passo 1

Vamos entender bem o enunciado! Temos que analisar a série sumn=1^infty(-1)^n nraizn^3+2. A matéria aqui é sobre séries, mais especificamente, sobre a convergência e divergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar do Teste da Convergência Alternada, que é uma forma de determinar se essas séries com termos que trocam de sinal (nesse caso, o (-1)^n) convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, para aplicar o Teste da Convergência Alternada, precisamos verificar se os termos bn = nraizn^3+2 satisfazem as duas condições:
  1. bn deve ser positivo para todo n.
  2. bn deve ser decrescente e tender a zero quando n vai para o infinito.
Vamos analisar a primeira condição. Como n é sempre positivo, e a raiz quadrada de qualquer número positivo também é positiva, bn = nraizn^3+2 é positivo para todo n >= 1. Então, a primeira condição foi atendida.
Agora, vamos para a segunda condição, precisamos mostrar que bn to 0 conforme n to infty e que bn+1 < bn. Para achar o limite, vamos calcular:
limn to infty bn = limn to infty nraizn^3+2
Podemos simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por n:
limn to infty 1raiz1 + 2n^3 = 1raiz1 + 0 = 1
Então, bn não tende a zero. Isso significa que a série não atende a condição necessária para convergência do Teste da Convergência Alternada.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se bn é decrescente. Para isso, vamos calcular bn+1 e comparar com bn:
bn+1 = n+1raiz(n+1)^3+2
Para verificar se bn+1 < bn, precisamos comparar:
n+1raiz(n+1)^3+2 < nraizn^3+2
Essa comparação pode dar um pouco mais de trabalho, mas por simplificação da lógica, podemos dizer que devido ao crescimento mais rápido do denominador (que é maior devido a raiz e o cubo), isso será verdade para valores suficientemente grandes de n.

Resposta

Com isso, podemos concluir que a série sumn=1^infty(-1)^n nraizn^3+2 diverge porque bn não tende a zero.

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