Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos entender bem o enunciado! Temos que analisar a série
. A matéria aqui é sobre séries, mais especificamente, sobre a convergência e divergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar do Teste da Convergência Alternada, que é uma forma de determinar se essas séries com termos que trocam de sinal (nesse caso, o
) convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, para aplicar o Teste da Convergência Alternada, precisamos verificar se os termos
satisfazem as duas condições:
-
deve ser positivo para todo . -
deve ser decrescente e tender a zero quando vai para o infinito.
Vamos analisar a primeira condição. Como
é sempre positivo, e a raiz quadrada de qualquer número positivo também é positiva,
é positivo para todo
. Então, a primeira condição foi atendida.
Agora, vamos para a segunda condição, precisamos mostrar que
conforme
e que
. Para achar o limite, vamos calcular:
Podemos simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por
:
Então,
não tende a zero. Isso significa que a série não atende a condição necessária para convergência do Teste da Convergência Alternada.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é decrescente. Para isso, vamos calcular
e comparar com
:
Para verificar se
, precisamos comparar:
Essa comparação pode dar um pouco mais de trabalho, mas por simplificação da lógica, podemos dizer que devido ao crescimento mais rápido do denominador (que é maior devido a raiz e o cubo), isso será verdade para valores suficientemente grandes de
.
Resposta
Com isso, podemos concluir que a série
diverge porque
não tende a zero.