Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação ou o Teste da Razão. Vamos precisar entender como esses testes funcionam para aplicar direitinho na nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é . Conforme cresce, aumenta, mas cresce bem mais rápido porque a função exponencial cresce rapidamente. Isso nos dá uma pista de que os termos estão diminuindo para zero, o que é um bom sinal para a convergência.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se para todo grande o suficiente e a série converge, então a série também converge.

Passo 4

Precisamos encontrar uma série que seja fácil de comparar com a nossa série . Observando que cresce muito rápido, podemos considerar . Isso porque para grande.

Passo 5

Agora, vamos verificar a convergência da série comparativa . Podemos simplificar isso usando a substituição , então e nossos termos ficam .

Passo 6

A série é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se a razão está entre -1 e 1.

Passo 7

Como a série comparativa converge e nossa série original é menor ou igual a ela para grande, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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