Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação ou o Teste da Razão. Vamos precisar entender como esses testes funcionam para aplicar direitinho na nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é
. Conforme
cresce,
aumenta, mas
cresce bem mais rápido porque a função exponencial cresce rapidamente. Isso nos dá uma pista de que os termos estão diminuindo para zero, o que é um bom sinal para a convergência.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se
para todo
grande o suficiente e a série
converge, então a série
também converge.
Passo 4
Precisamos encontrar uma série
que seja fácil de comparar com a nossa série
. Observando que
cresce muito rápido, podemos considerar
. Isso porque
para
grande.
Passo 5
Agora, vamos verificar a convergência da série comparativa
. Podemos simplificar isso usando a substituição
, então
e nossos termos ficam
.
Passo 6
A série
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão
está entre -1 e 1.
Passo 7
Como a série comparativa
converge e nossa série original
é menor ou igual a ela para
grande, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
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