Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é . Basicamente, parece que a questão envolve funções trigonométricas e suas inversas. Aqui, estamos lidando com a função tangente inversa (também conhecida como arctangente) aplicada ao seno de x. Para resolver ou entender isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas, funções inversas e como elas se relacionam. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A notação representa a função tangente inversa, que é a função que “desfaz” a tangente. Ou seja, se você tem , então .

Passo 3

Agora, vamos olhar para , que é simplesmente o seno de x. A função seno retorna a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa em um triângulo retângulo. Ela oscila entre -1 e 1 à medida que x varia.

Passo 4

Então, o que estamos fazendo aqui é primeiro aplicando o seno em x e, em seguida, aplicando a tangente inversa nesse resultado. Matemáticamente, isso seria escrito como:
Isso significa que estamos encontrando o ângulo cujo tangente é igual ao seno de x.

Passo 5

Para simplificar ou entender melhor essa expressão, podemos analisar os valores que cada parte pode assumir. Sabemos que varia entre -1 e 1. A função está definida para todos os valores de y, mas geralmente consideramos o intervalo principal de a .

Passo 6

Agora, se quisermos interpretar , onde C é a constante de integração, isso sugere que estamos olhando para a antiderivada (integral) de alguma função que resultou nessa expressão. Ou seja, poderíamos estar resolvendo uma integral como:

Passo 7

Vamos então pensar em qual função, ao ser derivada, resulta em . Para isso, precisaríamos aplicar regras de derivação de funções compostas e inversas. Porém, sem um enunciado mais completo, é difícil detalhar cada passo da derivação ou integração necessária.

Resposta

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