The maximum pitching moment that is developed by the water on a flying boat as it lands is noted as
. The following are the variables involved in this action:
angle made by flight path of plane with horizontal
angle defining attitude of plane
mass of plane
length of hull
density of water
acceleration of gravity
radius of gyration of plane about axis of pitching
(a) According to the Buckingham pi theorem, how many independent dimensionless groups should there be which characterize this problem?
(b) What is the dimensional matrix of this problem? What is its rank?
© Evaluate the appropriate dimensionless parameters for this problem.
(a) According to the Buckingham pi theorem, how many independent dimensionless groups should there be which characterize this problem?
(b) What is the dimensional matrix of this problem? What is its rank?
© Evaluate the appropriate dimensionless parameters for this problem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um avião aquático que está aterrissando, e quer saber qual é o momento de arfagem máximo desenvolvido pela água, que é representado por
. As variáveis envolvidas são o ângulo de caminho de voo (
), o ângulo de atitude do avião (
), a massa do avião (
), o comprimento do casco (
), a densidade da água (
), a aceleração da gravidade (
) e o raio de giração (
). Vamos usar o Teorema Pi de Buckingham, que ajuda a reduzir problemas físicos complexos em grupos adimensionais mais simples. Para isso, vamos precisar identificar as dimensões dessas variáveis e montar uma matriz dimensional.
Passo 2
Parte (a): Quantos grupos adimensionais independentes existem?
O Teorema Pi de Buckingham nos diz que o número de grupos adimensionais (
) é igual ao número de variáveis (
) menos o número de dimensões fundamentais (
). Aqui, temos as seguintes variáveis:
-
-
(ângulo) -
(ângulo) -
-
-
-
-
Totalizando
variáveis. As dimensões fundamentais geralmente consideradas são massa (
), comprimento (
) e tempo (
), então
.
Aplicando o teorema:
Passo 3
Parte (b): Qual é a matriz dimensional e o seu posto?
Vamos montar a matriz dimensional considerando as dimensões
,
e
para cada variável:
Cada coluna representa uma variável e cada linha uma dimensão fundamental.
Para achar o posto da matriz, observamos que há 3 linhas e 8 colunas, mas as linhas são linearmente independentes. Portanto, o posto
.
Passo 4
Parte ©: Quais são os parâmetros adimensionais apropriados?
Sabemos que serão 5 grupos adimensionais (
). Vamos escolher
,
, e
como variáveis repetidas para formar os grupos.
-
- Este grupo relaciona o momento de arfagem com a força gravitacional e as dimensões do avião.
-
- O ângulo
já é adimensional.
- O ângulo
-
- O ângulo
também é adimensional.
- O ângulo
-
- Este grupo relaciona a densidade da água com o volume característico do casco.
-
- Este grupo relaciona o raio de giração com o comprimento do casco.
Resposta
(a) Existem 5 grupos adimensionais independentes.
(b) A matriz dimensional é:
(b) A matriz dimensional é:
E o posto dessa matriz é 3.
© Os parâmetros adimensionais são:
© Os parâmetros adimensionais são: