The theoretical virtue of the Mandelstam variables is that they are Lorentz invariants, with the same value in any inertial system. Experimentally, though, the more accessible parameters are energies and scattering angles.
Find the CM energy of , in terms of and the masses. [Answer: .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre as variáveis de Mandelstam, que são importantes porque não mudam quando mudamos de referência inercial (ou seja, são invariantes de Lorentz). Aqui, a tarefa é encontrar a energia no centro de massa (CM) da partícula A, usando essas variáveis e as massas das partículas envolvidas. Para isso, vamos precisar entender o que são as variáveis de Mandelstam e como elas se relacionam com a energia no centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as variáveis de Mandelstam. Em colisões de partículas, elas são definidas da seguinte maneira:
Aqui, e são os quatro-momentos das partículas iniciais, e e são os quatro-momentos das partículas finais após a colisão. A variável representa a energia total no centro de massa ao quadrado.

Passo 3

No centro de massa, a energia total é a soma das energias das partículas A e B. Queremos isolar a energia da partícula A nesse sistema. Sabemos que:
No centro de massa, as momenta se anulam ( ), então a equação simplifica para:

Passo 4

Vamos também considerar que as partículas têm massa. Então, a energia de cada partícula no CM pode ser escrita usando a relação de Einstein:
Como as momenta são iguais e opostas no CM, podemos igualar as expressões para simplificar.

Passo 5

Agora, nosso objetivo é encontrar . Sabemos que:
Substituindo as expressões de energia:
Como , simplificamos para:

Passo 6

Resolvendo para :
No centro de massa, as energias são iguais ( ), então temos:

Passo 7

Finalmente, isolando :
Simplificando (assumindo para unidades naturais):

Resposta

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