Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é a integral de em relação a . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração por partes e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com :
Isso vai nos ajudar a quebrar a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
Isso nos dá:
Então, temos duas integrais para resolver separadamente.

Passo 4

Vamos começar com a segunda integral, que é mais simples:
Isso é uma aplicação direta da regra de potência para integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a primeira integral: . Para isso, vamos usar integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos identificar e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver .

Passo 7

Sabemos que a integral de é:
Ou, de outra forma:
Vamos usar a segunda forma para facilitar a substituição.

Passo 8

Voltando à nossa expressão:
Agora, lembrando que já tínhamos resolvido a segunda integral, vamos juntar tudo.

Passo 9

Juntando as integrais resolvidas:
Organizando os termos:

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados