Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é a integral de
em relação a
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração por partes e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Isso vai nos ajudar a quebrar a integral em partes mais fáceis de resolver.
Passo 3
Agora, substituímos
na integral original:
Isso nos dá:
Então, temos duas integrais para resolver separadamente.
Passo 4
Vamos começar com a segunda integral, que é mais simples:
Isso é uma aplicação direta da regra de potência para integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a primeira integral:
. Para isso, vamos usar integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos identificar
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver
.
Passo 7
Sabemos que a integral de
é:
Ou, de outra forma:
Vamos usar a segunda forma para facilitar a substituição.
Passo 8
Voltando à nossa expressão:
Agora, lembrando que já tínhamos resolvido a segunda integral, vamos juntar tudo.
Passo 9
Juntando as integrais resolvidas:
Organizando os termos:
Resposta
A integral de
em relação a
é: