Se x = 2*pi/3, calcule o valor da expressão y = (3 cos x - 2 sen x + tg 2 x) / (tg x - 2 sen 2 x + cos 4 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão trigonométrica juntos! O enunciado nos dá um valor para e pede para calcular . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas e substituir o valor de nas funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir nas funções trigonométricas básicas: , , e .
Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular , e . Para isso, utilizamos as seguintes identidades trigonométricas:
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Por fim, calculamos :
Primeiro, encontramos :
Agora, substituímos em :

Passo 4

Agora que temos todos os componentes, vamos substituir na expressão original:
Numerador:
Denominador:

Resposta

Substituindo os valores no numerador e denominador, temos:
Portanto, o valor de é 3.

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