Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas nas 15 partidas disputadas. de quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um time de futsal que jogou 15 partidas, conquistando 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes esses resultados poderiam ter acontecido ao longo das 15 partidas.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar o conceito de arranjo com repetição, que é uma técnica de contagem usada quando queremos saber de quantas formas diferentes podemos organizar um conjunto de itens onde alguns itens se repetem.
Para resolver, precisamos saber:
  • Quantas partidas houve no total.
  • Quantas vezes cada resultado (vitória, empate, derrota) ocorreu.

Passo 2

Primeiro, identificamos o total de partidas e a frequência de cada resultado:
  • Total de partidas: 15
  • Vitórias (V): 8
  • Empates (E): 5
  • Derrotas (D): 2
Estamos procurando o número de sequências distintas dessas 15 partidas onde temos 8 V, 5 E e 2 D.

Passo 3

Para calcular isso, usamos a fórmula de arranjo com repetição:
Número de maneiras = N!nV! times nE! times nD! ú
Onde:
  • $ N $ é o número total de partidas.
  • $ n_V $ é o número de vitórias.
  • $ n_E $ é o número de empates.
  • $ n_D $ é o número de derrotas.
  • “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $.

Passo 4

Aplicando os valores do nosso problema à fórmula:
Número de maneiras = 15!8! times 5! times 2! ú
Agora, vamos calcular isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos os fatoriais:
  • $ 15! = 1.307.674.368.000 $
  • $ 8! = 40.320 $
  • $ 5! = 120 $
  • $ 2! = 2 $

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Número de maneiras = 1.307.674.368.00040.320 times 120 times 2 ú
Calculando o denominador:
40.320 times 120 = 4.838.400
4.838.400 times 2 = 9.676.800

Passo 7

Agora, dividimos o valor do numerador pelo denominador:
1.307.674.368.0009.676.800 = 135.135

Resposta

Existem 135.135 maneiras distintas de os resultados (8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas) terem ocorrido ao longo das 15 partidas.

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