Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas nas 15 partidas disputadas. de quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um time de futsal que jogou 15 partidas, conquistando 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes esses resultados poderiam ter acontecido ao longo das 15 partidas.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar o conceito de arranjo com repetição, que é uma técnica de contagem usada quando queremos saber de quantas formas diferentes podemos organizar um conjunto de itens onde alguns itens se repetem.
Para resolver, precisamos saber:
- Quantas partidas houve no total.
- Quantas vezes cada resultado (vitória, empate, derrota) ocorreu.
Passo 2
Primeiro, identificamos o total de partidas e a frequência de cada resultado:
- Total de partidas: 15
- Vitórias (V): 8
- Empates (E): 5
- Derrotas (D): 2
Estamos procurando o número de sequências distintas dessas 15 partidas onde temos 8 V, 5 E e 2 D.
Passo 3
Para calcular isso, usamos a fórmula de arranjo com repetição:
Onde:
- $ N $ é o número total de partidas.
- $ n_V $ é o número de vitórias.
- $ n_E $ é o número de empates.
- $ n_D $ é o número de derrotas.
- “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $.
Passo 4
Aplicando os valores do nosso problema à fórmula:
Agora, vamos calcular isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculamos os fatoriais:
- $ 15! = 1.307.674.368.000 $
- $ 8! = 40.320 $
- $ 5! = 120 $
- $ 2! = 2 $
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Calculando o denominador:
Passo 7
Agora, dividimos o valor do numerador pelo denominador:
Resposta
Existem 135.135 maneiras distintas de os resultados (8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas) terem ocorrido ao longo das 15 partidas.