Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos planos e e os cilindros [cm] e [cm]. Uma densidade superficial de corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por . Determinar:
d) O fluxo magnético total que circula dentro do toróide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um toróide no espaço livre com uma seção transversal retangular. A gente precisa determinar o fluxo magnético total que circula dentro desse toróide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, especialmente relacionados a fluxo magnético e densidade de corrente superficial. Vamos precisar entender como a corrente na superfície interna cria um campo magnético e como calcular o fluxo desse campo através da área do toróide.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o toróide. Ele é formado pela interseção dos planos e , e dos cilindros e . Isso significa que o toróide tem uma largura de (de a ) e uma altura de . A densidade superficial de corrente na superfície interna é dada por .

Passo 3

Sabemos que o fluxo magnético é dado pela integral do campo magnético através da área :
Mas antes de calcular isso, precisamos achar o campo magnético gerado pela corrente na superfície interna do toróide.

Passo 4

Vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético com a corrente elétrica:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a corrente encerrada pelo caminho de integração.

Passo 5

Para um toróide com simetria circular, o campo magnético é aproximadamente constante ao longo do caminho circular e paralelo a ele. No nosso caso, mesmo com a seção retangular, podemos assumir que o campo é principalmente na direção tangencial. Assim, a integral da Lei de Ampère simplifica para:
Onde é o raio médio do toróide.

Passo 6

Vamos calcular a corrente total . A densidade superficial de corrente é e a largura da seção transversal é . Então, a corrente total é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o campo magnético . Considerando o raio médio como a média entre e :
Aplicando a Lei de Ampère:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o fluxo magnético total . O fluxo é o campo magnético multiplicado pela área através da qual ele passa. A área do toróide é a área da seção transversal multiplicada pelo comprimento médio do caminho:
Então:

Resposta

O fluxo magnético total que circula dentro do toróide é .

Exercícios relacionados

Um filamento de corrente muito longo está situado sobre a reta e , possuindo uma corrente de [A], orientada no sentido positivo do eixo y. Determinar o campo magnético (na forma vetorial) nos seguintes pontos:
c) ;
Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos planos e e os cilindros [cm] e [cm]. Uma densidade superficial de corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por . Determinar:
b) As densidades superficiais de corrente (forma vetorial) nas outras 3 superfícies do toróide, identificando-as por ;
Um filamento de corrente muito longo está situado sobre a reta e , possuindo uma corrente de [A], orientada no sentido positivo do eixo y. Determinar o campo magnético (na forma vetorial) nos seguintes pontos:
d) .
Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos planos e e os cilindros [cm] e [cm]. Uma densidade superficial de corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por . Determinar:
a) O valor total da corrente na superfície interna do toróide;