Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos planos z=0 e z=3[cm] e os cilindros rho=5 [cm] e rho=7,5 [cm]. Uma densidade superficial de corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por K int =300 az[A / m]. Determinar:
d) O fluxo magnético total Phi total que circula dentro do toróide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um toróide no espaço livre com uma seção transversal retangular. A gente precisa determinar o fluxo magnético total Phitotal que circula dentro desse toróide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, especialmente relacionados a fluxo magnético e densidade de corrente superficial. Vamos precisar entender como a corrente na superfície interna cria um campo magnético e como calcular o fluxo desse campo através da área do toróide.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o toróide. Ele é formado pela interseção dos planos z=0 e z=3,cm, e dos cilindros rho=5,cm e rho=7,5,cm. Isso significa que o toróide tem uma largura de 2,5,cm (de 5,cm a 7,5,cm) e uma altura de 3,cm. A densidade superficial de corrente na superfície interna é dada por Kint = 300,az,A/m.

Passo 3

Sabemos que o fluxo magnético Phi é dado pela integral do campo magnético B através da área A:
Phi = integral B cdot dA
Mas antes de calcular isso, precisamos achar o campo magnético B gerado pela corrente na superfície interna do toróide.

Passo 4

Vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético com a corrente elétrica:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo e Ienc é a corrente encerrada pelo caminho de integração.

Passo 5

Para um toróide com simetria circular, o campo magnético B é aproximadamente constante ao longo do caminho circular e paralelo a ele. No nosso caso, mesmo com a seção retangular, podemos assumir que o campo é principalmente na direção tangencial. Assim, a integral da Lei de Ampère simplifica para:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc
Onde r é o raio médio do toróide.

Passo 6

Vamos calcular a corrente total Ienc. A densidade superficial de corrente é K = 300,A/m e a largura da seção transversal é 2,5,cm = 0,025,m. Então, a corrente total é:
Ienc = K cdot largura cdot a

Passo 7

Agora, vamos determinar o campo magnético B. Considerando o raio médio rm como a média entre 5,cm e 7,5,cm:
rm = 5 + 7,52 = 6,25,cm = 0,0625,m
Aplicando a Lei de Ampère:
B = mu0 Ienc2pi rm = 4pi times 10^-7,Tcdotm/A times 0,225,A2pi times 0,0625,m = 4pi times 10^-7 times 0,2252pi times 0,0625 = 0,9 times 10^-70,125 = 7,2 times 10^-7,T

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o fluxo magnético total Phitotal. O fluxo é o campo magnético multiplicado pela área através da qual ele passa. A área A do toróide é a área da seção transversal multiplicada pelo comprimento médio do caminho:
A = largura times a
Então:
Phitotal = B times A = 7,2 times 10^-7,T times 7,5 times 10^-4,m^2 = 5,4 times 10^-10,Wb

Resposta

O fluxo magnético total que circula dentro do toróide é Phitotal = 5,4 times 10^-10,Wb.

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